Lo que tenemos que demostrar es:
[matemáticas] (a + b + c) ^ 2 = b ^ 2-4ac [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow \ left (1- \ left (- \ dfrac {b} {a} \ right) + \ dfrac {c} {a} \ right) ^ 2 = \ dfrac {\ Delta} {a ^ 2 }[/matemáticas]
Donde [math] \ Delta = b ^ 2-4ac [/ math] es el discriminante.
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Además, puedes resolver esto fácilmente, que
[matemáticas] | \ alpha- \ beta | = \ dfrac {\ Delta} {a ^ 2} [/ matemáticas].
Y, [matemáticas] (\ alpha ^ 2- \ beta) ^ 2 = \ dfrac {1} {k ^ 2 (k + 1) ^ 2} [/ matemáticas] …… 1
donde [math] \ alpha, \ beta [/ math] son las dos raíces.
¡Ya te han dado las raíces!
La suma de las raíces es [math] – \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {2k ^ 2 + 4k + 1} {k (k + 1)} [/ math].
Los productos de las raíces son [matemáticas] \ dfrac {c} {a} = \ dfrac {k + 2} {k} [/ matemáticas].
Entonces, podemos calcular el LHS modificado y obtenemos [matemática] \ dfrac {1} {k ^ 2 (k + 1) ^ 2} [/ matemática] …… 2
Por 1 y 2, obtenemos LHS = RHS.
Ahí tienes!