¿Por qué es que [math] \ lim_ {x \ to \ infty} 1 ^ x = 1 [/ math], pero [math] 1 ^ \ infty [/ math] no está definido?

Answer 1

La expresión “1 ^ infinito” es ambigua.

Sí, puede expresarlo como el límite (como x -> infinito) de:

1 ^ x

No importa cuál sea x, la expresión “1 ^ x” siempre produce 1. Por lo tanto, el límite también es 1.

Pero “1 ^ infinito” también se puede expresar como el límite (como x-> infinito) de esta expresión :

(1 + 1 / x) ^ x

y el límite de esta expresión, a medida que x crece sin límites, no es 1 sino el valor matemático e , que es aproximadamente 2.718.

Entonces, ¿es 1 ^ infinito igual a 1 o el valor e (2.718)? Podría ser cualquiera; ese es el problema.

Las expresiones estáticas que contienen infinito son problemáticas, debido a que el infinito no es un número real en la forma en que lo son los números finitos. Infinity presenta desafíos especiales, y es peligroso mezclarlo con números finitos.

La teoría de límites resuelve estos problemas porque aborda tales situaciones como un proceso dinámico, observando cómo cambian las cosas a medida que variamos una o más variables en una relación con otros, lo que va al corazón de cómo el cálculo es fundamentalmente diferente del álgebra simple (aunque el cálculo, por supuesto, se basa en la base del álgebra).

Answer 2

Es porque [math] \ infty [/ math] en sí no tiene un significado particular asociado.

Cuando trabajamos con límites, tenemos una definición rigurosa y el infinito entra en escena, lo que lo convierte en un concepto bien definido. La definición de límite cuando el factor limitante tiende al infinito será esta:

[matemática] lim_ {x \ to \ infty} f (x) = L [/ matemática] si por cada [matemática] \ delta> 0 [/ matemática], uno puede encontrar una [matemática] x_0 [/ matemática] tal que para todos [math] x> x_0 [/ math], tenemos [math] | f (x) – L | <\ delta [/ math].

¿Puedes ver por qué esta definición lleva a la respuesta?