Cómo evaluar [matemáticas] \ int _ {\ infty} ^ {0} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {- x}} {\ sqrt {1- \ mathrm {e} ^ {- 2x}}} \ matemática {d} x [/ matemática]

Answer 1

Sustituir [math] \ displaystyle t = \ mathrm {e} ^ {- x} [/ math] no funciona. Intentemos sustituir [math] \ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- x} = \ sin \ theta [/ math]. Por lo tanto, al diferenciar ambos lados, tenemos [math] \ displaystyle – \ mathrm {e} ^ {- x} \ mathrm {d} x = \ cos \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math].

Además, cuando [math] \ displaystyle x \ to \ infty [/ math]; [matemática] \ displaystyle \ sin \ theta = 0 [/ matemática] que implica [matemática] \ displaystyle \ theta = 0 [/ matemática]
y cuando [math] \ displaystyle x = 0 [/ math]; [matemática] \ displaystyle \ sin \ theta = 1 [/ matemática] que implica [matemática] \ displaystyle \ theta = \ frac {\ pi} {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto I = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {- \ ln (\ sin \ theta) \ cdot (- \ cos \ theta)} {\ cos \ theta} \ mathrm {d} \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {\ pi} {2} \ ln 2 [/ matemáticas]

Le recomiendo que resuelva la integral anterior usted mismo, pero si no puede: ¿Cómo integro [math] \ ln (\ sin (x)) [/ math] de [math] 0 [/ math] a [math] \ frac \ pi 2 [/ math]?