¿Existe una función tal que f (x) dé como resultado una forma bidimensional, donde x es el número de lados?

Answer 1

La definición de qué es una “función” es muy amplia y general en matemáticas. Su pregunta, de hecho, casi define la función que está buscando. En términos más formales, diría algo como “que f sea una función desde números naturales hasta figuras planas, donde f (0) es un punto, f (1) es un rayo, f (2) es una línea, f (3) es un triángulo equilátero, f (4) es un cuadrado, etc. ”. Puede que no se escriba como una función perfecta (¿qué punto, rayo, línea, etc.?) Pero eso no importa. Se podría especificar diciendo que es el polígono formado por las enésimas raíces de la unidad, y eso lo mejoraría.

Pero sospecho que eso no es realmente lo que estás buscando. Creo que esta pregunta se clasificó en “cálculo”, y la función que definí en el párrafo anterior, aunque es una función perfectamente buena, no es el tipo de función en la que pensarían los estudiantes de cálculo que harían este tipo de preguntas. En general, piensan en [math] f (x) [/ math] como una función que toma un número real y devuelve un número real. Aquí, las cosas comienzan a romperse. Una forma bidimensional no es un número real, por lo que no puede ser el resultado de dicha función, y “el número de lados” es difícil de parametrizar mediante un número real arbitrario.

“Pero espera, ¿qué pasa con [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]? ¡Es una parábola, y es una forma bidimensional! ”Bueno … no, no es ninguna de esas. [math] f (x) [/ math] es solo una función, no una parábola. La gráfica de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], es decir, el conjunto de puntos [matemáticas] (x, f (x)) [/ matemáticas] es una parábola, pero [matemáticas] f (x) [ / matemáticas] no lo es. E incluso allí, en realidad, la parábola, aunque curva, es unidimensional. Cualquier punto puede describirse usando solo un parámetro.

Sin embargo, usted dio una salida al permitirnos tomar argumentos adicionales. Si bien pensó en argumentos adicionales para dar longitud lateral, radio, etc., sí nos permiten parametrizar mejor nuestra función.

Tomemos, por ejemplo, una función de la forma [math] f (n, t) [/ math], donde [math] n [/ math] es un número entero y [math] t [/ math] es real. Entonces, potencialmente puede definirlo para que [math] f (3, t) [/ math] devuelva un punto (también conocido como un par [math] (x, y) [/ math]) que, como [math] t [ / math] varía de 0 a 1, traza un triángulo, etc. ¿Se puede hacer esto? Bueno, obviamente, dado el primer párrafo, sí. ¿Pero se puede hacer de una manera agradable?

Definir “agradable” …

Hablemos de estos polígonos regulares a los que estamos tratando de mapear, y pensemos en ellos en coordenadas polares. Para mayor precisión, veamos los polígonos regulares circunscritos alrededor de un círculo unitario, con la orientación elegida de modo que el centro de un lado esté en [matemáticas] (r, \ theta) = (1,0) [/ matemáticas]. La fórmula polar para ese lado es [math] r = \ sec \ theta [/ math], pero para nuestro n-gon, solo queremos dejar que [math] – \ frac {\ pi} {n} \ leq \ theta \ leq \ frac {\ pi} {n} [/ math]. Eso nos llevará a un lado. Para obtener los otros lados, podríamos definirlo por partes: el segundo lado está definido por [matemáticas] r = \ sec (\ theta- \ frac {2 \ pi} {n}), \ frac {\ pi} {n} \ leq \ theta \ leq \ frac {3 \ pi} {n} [/ math] y demás, pero eso es difícil de definir para arbitraria [math] n [/ math].

Pero hay una salida: la “onda triangular”, la función definida por [matemáticas] s (t) = \ frac {2a} {\ pi} \ sin ^ {- 1} \ sin \ frac ({2 \ pi} { p} x) [/ math], donde [math] a [/ math] es la amplitud (qué tan grande lo queremos), y [math] p [/ math] es el período (con qué frecuencia se repite). Esta función aumenta linealmente de [matemática] -a [/ matemática] a [matemática] a [/ matemática] en el rango de [matemática] -p / 4 \ leq t \ leq p / 4 [/ matemática], luego disminuye de manera similar , luego se repite. Este es exactamente el patrón que queremos para nuestra función, usando un “punto” de dos lados del polígono, entonces [matemática] p = \ frac {4 \ pi} {n} [/ matemática], y una amplitud de [matemática ] a = \ frac {\ pi} {n} [/ math], por lo que obtenemos una onda triangular de [math] s (\ theta) = \ frac {2} {n} \ sin ^ {- 1} \ sin \ frac ({n} {2} [/ matemáticas].

Entonces, si conectamos esa onda triangular a nuestra secante, obtenemos una fórmula para un gráfico polar de la forma [matemáticas] r = \ sec (\ frac {2} {n} \ sin ^ {- 1} \ sin \ frac { n} {2} \ theta [/ math].

Si está dispuesto a trabajar en coordenadas polares, esencialmente nos detenemos aquí, con [matemáticas] f (n, t) = \ sec 9 \ frac {2} {n} \ sin ^ {- 1} \ sin \ frac {n } {2} t [/ math], pero si quieres que [math] f [/ math] devuelva un par de coordenadas cartesianas, entonces tenemos que convertir eso, sabiendo que [math] x = r \ cos \ theta , y = r \ sin \ theta [/ math]. No es difícil, pero da una expresión aún más complicada.

Answer 2

Por supuesto que existe tal función. De hecho, lo acabas de describir. Toma como entrada el conjunto de enteros positivos más otro punto, al que llamaremos [math] \ infty [/ math]. La salida es un conjunto de figuras bidimensionales. [math] f (n) [/ math] devolverá un polígono regular con [math] n [/ math] lados, con la excepción de [math] f (1), f (2), f (\ infty) [ / matemática] que tenemos que definir por separado (puede interesarle que, si habla de superficies bidimensionales en la esfera, en realidad pueda tener un polígono cerrado con 2 lados, este es el Digón).

Recuerde: una función es solo una forma de hacer coincidir elementos en un conjunto con elementos en otro conjunto para que para cualquier entrada, solo haya una salida. Eso es todo La entrada y la salida podrían ser literalmente cualquier conjunto.

Por supuesto, sospecho que lo que quieres es algo un poco diferente. Lo más probable es que supongo que desea una función que no genere una forma, sino, por ejemplo, una ecuación paramétrica que describa una curva en un espacio bidimensional. De hecho, voy a adivinar que probablemente quieras que esta función sea computable (de hecho, probablemente quieras que sea expresable en términos de algunas funciones elementales). En ese caso, para [matemáticas] 2

[matemáticas] \ left (f (n) \ right) (t) = \ left (\ sum_ {k = 0} ^ {floor (nt) – 1} \ frac {1} {n} e ^ {2 \ pi ik / n} \ right) + \ frac {1} {n} e ^ {2 \ pi i floor (nt) / n} \ left (nt – floor (nt) \ right) [/ math].

Si puede encontrar la definición correcta de un límite de curvas paramétricas, debería encontrar que [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} f (n) [/ math] es de hecho un círculo.

Answer 3

En el sentido más amplio de una función, sí. Puede escribir una tabla de entrada-salida que se ajuste a sus necesidades. Sin embargo, en mi experiencia cuando las personas preguntan, en un contexto de álgebra o cálculo, si hay una función para algo, lo que quieren decir es que quieren una ecuación que modele dicha función.

Obviamente, una forma en este sentido tendrá un borde superior e inferior. Esto sería un problema para la prueba de línea vertical, usando coordenadas rectangulares. (Aún podría combinar algo de un par de funciones, de la misma manera que puede dibujar un círculo usando la fórmula del teorema de Pitágoras resuelta para uno en las piernas). Entonces, si asumimos que su uso de f (x) significa que desea la función clásica de tipo y = f (x) – no, no se puede hacer.

Entonces, dado que ya hemos pasado de sí a no, ¿no sería divertido volver a “tal vez”? Una función expresada usando coordenadas polares sería genial para dibujar una figura cerrada. Todo lo que tendrías que hacer es configurarlo de manera que r sea una cierta cantidad donde θ sea consistente con las raíces x de la unidad, y que sea arrastrado por la cantidad adecuada en cualquier otro lugar para formar lados rectos.

Si configuró una función de este tipo, sería interesante ver qué formas daban los valores no enteros de x.

Answer 4

Sí, existen las curvas de relleno de espacio tan frías, por ejemplo, la curva de Peano. Los mapas son claramente inyectivos, o el mapa sería un homeomorfismo local, que no puede tener, por ejemplo, por Invarianza de dominio.

Answer 5

Nunca. Para hacer una figura de dos dimensiones, tendrías que tener dos puntos correspondientes a la misma x. aunque un Punto en y puede originarse por puntos infinitos en x, como en f (x) = k. , cada Punto de x solo puede originar uno y. Esto es parte de la defensa de la función.