Cómo evaluar [math] \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) \ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math]

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle \ frac {1-x ^ 2} {1 + x ^ 2} = y ^ 2 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle x ^ 2 = \ frac {1-y ^ 2} {1 + y ^ 2} [/ math]

Al diferenciar ambos lados wrt [matemáticas] y [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ displaystyle 2x \ mathrm {d} x = \ frac {-4y} {(1 + y ^ 2) ^ 2} \ mathrm {d} y [/ matemáticas].

Además, tenga en cuenta que [math] \ displaystyle 1 + x ^ 2 = \ frac {2} {1 + y ^ 2} [/ math] y [math] \ displaystyle 1-x ^ 2 = \ frac {2y ^ 2} {1 + y ^ 2} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) \ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {\ sqrt {1-y ^ 2}} [/ math]
[matemática] \ displaystyle = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ arcsin y + C [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ arcsin \ sqrt {\ frac {1-x ^ 2} {1 + x ^ 2}} + C [/ matemáticas]

Answer 2

Deje que [math] x = \ frac {1} {u} \ implica dx = – \ frac {1} {u ^ 2} \, du [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {dx} {(1 + x ^ 2) \ sqrt {1-x ^ 2}} = – \ int \ frac {u} {(1 + u ^ 2) \ sqrt { u ^ 2–1}} \, du [/ matemáticas]

Ahora, dejemos que [math] v ^ 2 = u ^ 2–1 \ implica 2u \, du = 2v \, dv \ implica u \, du = v \, dv [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle- \ int \ frac {u} {(1 + u ^ 2) \ sqrt {u ^ 2–1}} \, du = – \ int \ frac {1} {v ^ 2 + 2} \, dv = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {v} {\ sqrt {2}} \ right) + C = – \ frac {1 } {\ sqrt {2}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ sqrt {u ^ 2–1}} {\ sqrt {2}} \ right) + C = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {\ sqrt {2} x} \ right) + C [/ math]

Answer 3

Tengo la sensación de sustituir [matemáticas] x = \ sin \ theta \ implica dx = \ cos \ theta d \ theta [/ matemáticas]

obtendremos

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {d \ theta} {1+ \ sin ^ 2 \ theta} = \ displaystyle \ int \ frac {\ sec ^ 2 \ theta d \ theta} {1 + 2 \ tan ^ 2 \ theta} [/ math]

Ahora ponga [math] u = \ tan \ theta \ implica du = \ sec ^ 2 \ theta d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {du} {1 + 2 u ^ 2} = \ displaystyle \ int \ frac {du} {1+ (\ sqrt {2} u) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ sqrt {2}} arco tan (\ sqrt {2} \ tan (arco sin x)) + C [/ matemáticas]

Answer 4

Se dan varias respuestas con diferentes sustituciones. Procederé con uno nuevo.

Vamos a sustituir arc tan x = t

No olvide agregar la constante de integración.

Answer 5

Poner:

t = (sqrt (1-x * x)) / x

Cambiar la variable de integración de x a t