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Cuando los valores absolutos se suman así, el interior debe ser la distancia firmada entre puntos colineales. En lugar de resolver el problema, veamos qué sucede cuando los cuadras hasta que el valor absoluto desaparece.
[matemáticas] | a | + | b | = | c | [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 +2 | a || b | = c ^ 2 [/ matemáticas]
- Si A = B, ¿B = A siempre es verdad?
- Dado real [matemática] x, y, z [/ matemática] tal que [matemática] x \ lt y + z [/ matemática], qué requisito adicional asegura la conclusión [matemática] x ^ 2 \ lt y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas]?
- Cómo evaluar [math] \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {(1 + x ^ 2) \ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math]
- Cómo extraer los coeficientes de un polinomio de un controlador de función que calcula un polinomio en Matlab sin usar variables simbólicas
- Cómo evaluar [matemáticas] \ int _ {\ infty} ^ {0} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {- x}} {\ sqrt {1- \ mathrm {e} ^ {- 2x}}} \ matemática {d} x [/ matemática]
[matemáticas] 2 | a | b | = c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 [/ matemáticas]
Esa es una buena forma allí mismo. Pero trabajemos en su forma simétrica.
[matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2 = c ^ 4 + a ^ 4 + b ^ 4 + 2 (a ^ 2b ^ 2-b ^ 2c ^ 2-a ^ 2c ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 = 2 (a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2c ^ 2) [/ matemáticas]
Vemos que en el original, [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] eran las dos piezas más pequeñas que formaban [matemáticas] c [/ matemáticas], en la forma algebraica final, cualquiera de [ matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática] puede ser la pieza grande.
En otras palabras, dados tres puntos en una recta numérica, a saber [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas], formamos tres distancias con signo [matemáticas] a = yx [/ matemática], [matemática] b = zy [/ matemática], [matemática] c = xz [/ matemática], y esas tres distancias con signo deben satisfacer la igualdad anterior, independientemente del orden de [matemática] x, y [/ math] y [math] z [/ math].
Arriba tuvimos
[matemáticas] (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 – 4a ^ 2b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Esa es la diferencia de dos cuadrados. [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = (xy) (x + y) [/ matemáticas]
[matemáticas] (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 – 2ab) (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2 + 2ab) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (c ^ 2- (a + b) ^ 2) (c ^ 2- (ab) ^ 2) = 0 [/ matemáticas]
Ahora tenemos dos diferencias de cuadrados, por lo que podemos volver a hacerlo:
[matemática] (cabina) (c + a + b) (c-a + b) (c + ab) = 0 [/ matemática]
Eso nos da todos los casos de distancias firmadas. Resumiendo, para cualquier número real [matemática] x, y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], las distancias con signo [matemática] a = yx [/ matemática], [matemática] b = zy [/ matemática ], [matemáticas] c = xz [/ matemáticas] satisfacer
[matemáticas] (c ^ 2-a ^ 2-b ^ 2) ^ 2 – 4a ^ 2b ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 – 2 (a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + a ^ 2c ^ 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] (cabina) (c + a + b) (c-a + b) (c + ab) = 0 [/ matemáticas]
Lo último, te lo dejo como ejercicio. Mostrar estas expresiones son todas [matemáticas] -16 [/ matemáticas] veces el área al cuadrado de un triángulo con lados de longitud [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c. [/ Matemáticas] Es por eso que son cero en el caso colineal, el triángulo degenerado tiene área cero.
Eso fue como el anuncio que tenía que ver para llegar al contenido que desea. La forma factorizada al final es solo el análisis de caso que hubiéramos hecho si hubiéramos abordado el problema directamente.
Si sustituimos [matemática] 2x-3a [/ matemática] por [matemática] a [/ matemática], [matemática] a + 1-x [/ matemática] por [matemática] b [/ matemática] y [matemática] x + 1 [/ math] para [math] c [/ math] obtenemos nuestros cuatro casos [perdón por las dos variables diferentes llamadas [math] a [/ math]]. Gracias al Sr. Nester por atrapar mis errores.
[matemática] 0 = cabina [/ matemática]: [matemática] 0 = x + 1–2x + 3a -a-1 + x = 2a \ implica a = 0. [/ matemática] Podemos ignorar esto desde [matemática] a> 0 [/ math] en la declaración del problema.
[matemáticas] 0 = c + a + b [/ matemáticas]: [matemáticas] 0 = x + 1 + 2x-3a + a + 1-x = 2x -2a + 2 \ implica x = a-1 [/ matemáticas]
Verifiquemos: [matemáticas] | 2 (a-1) -3a | + | a + 1- (a-1) | = | -a-2 | + | 2 | = a + 4 [/ matemáticas]. [matemáticas] | (a + 1) +1 | = a + 2 [/ matemáticas]. Esto no se verifica porque este caso requiere que todos los argumentos de valor absoluto tengan el mismo signo y no los tienen aquí.
[matemáticas] 0 = c-a + b [/ matemáticas]: [matemáticas] 0 = x + 1–2x + 3a + a + 1-x = -2x + 4a +2 \ implica x = 2a + 1 [/ matemáticas ]
Comprobación: [matemáticas] | 2 (2a + 1) -3a | + | a + 1- (2a + 1) | = | a + 2 | + | -a | = 2a + 2. [/ matemáticas] [matemáticas] | 2a + 1 + 1 | = 2a + 2. \ \ \ marca de verificación [/ math]
[matemáticas] 0 = c + ab [/ matemáticas]: [matemáticas] 0 = x + 1 + 2x-3a-a-1 + x = 4x -4a \ implica x = a [/ matemáticas]
Verifique: [matemáticas] | 2a-3a | + | a + 1-a | = | -a | + | 1 | = a + 1. [/ Matemáticas] [matemáticas] | a + 1 | = a + 1. \ \ \ marca de verificación. [/ math]
Nuestra respuesta es así [matemáticas] x = 2a + 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = a. [/ Matemáticas] Esa no parece ser ninguna de las opciones, así que voy con (e) ninguna de los anteriores.