Cómo resolver una ecuación lineal no homogénea

Answer 1

Al resolver, supongo que está buscando una solución de forma cerrada para [math] a_n. [/ Math] También estoy asumiendo [math] a_n = a_ {n-1} + 6 (n-1) [ / math] porque [math] 6_ {n-1} [/ math] no tiene sentido para mí.

Para resolver tales ecuaciones recursivas, simplemente apliquemos la recursividad y veamos a dónde nos lleva. Dado:

[matemáticas] a_n = a_ {n-1} + 6 (n-1) [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] a_ {n-1} = a_ {n-2} + 6 (n-2). [/ Matemáticas] Sustituya esto en la ecuación anterior:

[matemáticas] a_n = a_ {n-2} + 6 (n-2) + 6 (n-1) [/ matemáticas]

Del mismo modo, [matemáticas] a_ {n-2} = a_ {n-3} + 6 (n-3) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] a_n = a_ {n-3} + 6 (n-3) + 6 (n-2) + 6 (n-1) [/ matemáticas]

Si continúa esto, obtendrá:

[matemáticas] a_n = a_1 + 6 (1) + 6 (2) +… + 6 (n-3) + 6 (n-2) + 6 (n-1) [/ matemáticas]

=> [matemáticas] a_n = a_1 + 6 (1 + 2 +… + (n-1)) [/ matemáticas]

[math] a_1 = 1 [/ math] y la suma de los primeros números naturales n-1 es [math] \ dfrac {(n-1) n} {2}. [/ math] Sustituye.

[matemáticas] a_n = 1 + 6 \ dfrac {(n-1) n} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] => a_n = 3n ^ 2-3n + 1 [/ matemáticas]

En general, la forma en que me enfocaría para resolver problemas recursivos es bastante similar a lo que he hecho anteriormente. Siga usando la recursividad hasta llegar a la condición de caso base / salida (en este caso a1 = 1) e intente simplificar los términos restantes y expresarlo usando un solo término, como la suma de los primeros números naturales n-1 en el caso anterior.

Answer 2

Usando la condición inicial, y poniendo [matemáticas] n = 2,3,4,…. [/ Matemáticas]

[matemáticas] a (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (2) = a (1) +6 (2–1) = 1 + 6 (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] a (3) = a (2) +6 (3–1) = 1 + 6 (1) +6 (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] a (4) = a (3) +6 (4–1) = 1 + 6 (1) +6 (2) +6 (3) [/ matemáticas]

[matemáticas]. [/ matemáticas]

[matemáticas]. [/ matemáticas]

[matemáticas]. [/ matemáticas]

[matemáticas]. [/ matemáticas]

[matemáticas] a (n) = 1 + 6 (1 + 2 + 3 +…. + n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a (n) = 1 + 6 \ veces \ dfrac {n (n + 1)} {2} = 1 + 3n (n + 1) = 3n ^ 2 + 3n + 1 [/ matemáticas]

Esta debería ser la respuesta, pero si necesita la suma de la relación de recurrencia …

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a (n) = 3 \ times \ dfrac {n (n + 1) (n + 2)} {6} +3 \ times \ dfrac { n (n + 1)} {2} + n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum {a (n)} = \ dfrac {1} {2} n (n + 1) (n + 2) + \ dfrac {1} {2} n (n + 1) + n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum {a (n)} = \ dfrac {n} {2} [(n + 1) (n + 2) + (n + 1) +2] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum {a (n)} = \ dfrac {n} {2} [n ^ 2 + 3n + 2 + n + 1 + 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum {a (n)} = \ dfrac {n} {2} (n ^ 2 + 4n + 5) [/ matemáticas]

Answer 3

Mira, ¿hay un patrón?

a (n) = a (n-1) +6 (n-1)

a (1) = a (0) +6 (1-1) = a (0) + 0 (6)

a (2) = a (1) +6 (1) = a (0) + 1 (6)

a (3) = a (2) +2 (3) = a (0) + 3 (6)

a (4) = a (3) +6 (3) = a (0) +6 (6)

OK, tenemos una serie; 0,1, 3, 6, 10, 15“, [(n) (n-1)] / 2

Entonces a (n) = a (0) + 3 [(n) (n-1]

a (0) es alguna condición inicial de arranque

Oh oh! , Acabo de ver que a (1) = 1, ahora debo comenzar a juntar algo, o tal vez eliminarlo, salvar, rescatar,!

a (1) = a (0) +0 (6) = 1, a (0) = a (1) = 1

a (n) = 1 + 3 (n) (n-1), n ​​= {1, 2,3 ,,,}

a (n) = 3n ^ 2 -3n + 1, n = {0,1,2,3, ,,, ,,}

Funciona ?!

a (0) = 1, a (1) = 1, a (2) = 7 = 1 + 6, a (4) = 33 = 19 + 18

Todo parece estar bien. ¡Sobrino!