Cómo encontrar la suma de las siguientes series usando inducción

Answer 1

¡Luego! ¿Por qué inducción? : / Sin embargo, sería aburrido: /

El término [math] \ displaystyle n_ {th} [/ math] será [math] \ displaystyle \ frac {n} {3 \ left (4n + 3 \ right)} [/ math]

Para n = 1

[matemáticas] \ displaystyle LHS = \ frac {1} {3.7} = \ frac {1} {21} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle RHS = \ frac {1} {3 \ left (4 + 3 \ derecha)} = \ frac {1} {21} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto [/ matemáticas] LHS = RHS

Por lo tanto, el resultado dado es verdadero para n = 1 , deje que el resultado dado sea verdadero para [math] \ displaystyle n = m \ epsilon N [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ frac {1} {3.7} + \ frac {1} {7.11} + \ frac {1} {11.14} +… + \ frac {1} {\ left (4m-1 \ right ) \ left (4m + 3 \ right)} = \ frac {m} {3 \ left (4m + 3 \ right)} [/ math]

Ahora, para n = m + 1

LHS = [matemáticas] \ displaystyle \ left [\ frac {1} {3.7} + \ frac {1} {7.11} + \ frac {1} {11.14} +… + \ frac {1} {\ left (4m- 1 \ derecha) \ izquierda (4m + 3 \ derecha)} \ derecha] + \ frac {1} {\ izquierda (4m + 3 \ derecha) \ izquierda (4m + 7 \ derecha)} [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {m} {3 \ left (4m + 3 \ right)} + \ frac {1} {\ left (4m + 3 \ right) \ left (4m + 7 \ right)} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {m \ left (4m + 7 \ right) +3} {3 \ left (4m + 3 \ right) \ left (4m + 7 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {4m ^ {2} + 7m + 3} {3 \ left (4m + 3 \ right) \ left (4m + 7 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ left (m + 1 \ right) \ left (4m + 3 \ right)} {3 \ left (4m + 3 \ right) \ left (4m + 7 \ right)} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {m + 1} {3 \ left (4m + 7 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {m + 1} {3 \ left [4 \ left (m + 1 \ right) +3 \ right]} [/ math]

que es el mismo resultado que uno dado con n reemplazado por m + 1 . Por lo tanto, el resultado es cierto.

Answer 2

1 / (4n-1) (4n + 3) = (1/4) (1 / (4n-1) – 1 / (4n + 3))

Entonces, si piensa que esto es un término general, divida todas esas fracciones de esta manera y considere 4r-1 = 4 (r-1) + 3 para todo r, la suma viene como

(1/4) (1/3 – 1 / (4n + 3)) = n / 3 (4n + 3)