Cómo evaluar [math] \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ frac {x ^ 2 + 1} {(x + 1) ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]

Answer 1

Dejar

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {Z} = \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ frac {x ^ 2 +1} {(x + 1) ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]

Sustituya [math] (x + 1) [/ math] por [math] t [/ math], luego la integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {Z} = \ int \ mathrm {e} ^ {(t-1)} \ frac {(t-1) ^ 2 +1} {t ^ 2} \ mathrm {d} t [/matemáticas]

Al simplificar aún más, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {Z} = \ int \ mathrm {e} ^ {(t-1)} {(1 + 2t ^ {- 2} -2t ^ {- 1})} \ mathrm {d} t [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle \ mathscr {Z} = \ frac {\ mathscr {G}} {\ mathrm {e}} [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} = \ int \ mathrm {e} ^ {t} {(1 + 2t ^ {- 2} -2t ^ {- 1})} \ mathrm {d} t [ /matemáticas]

Dividamos la integral [math] \ displaystyle \ mathscr {G} [/ math] en tres partes:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} _1 = \ int \ mathrm {e} ^ {t} \ mathrm {d} t [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} _2 = 2 \ int \ mathrm {e} ^ {t} t ^ {- 2} \ mathrm {d} t [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} _3 = -2 \ int \ mathrm {e} ^ {t} t ^ {- 1} \ mathrm {d} t [/ math]

La integral [math] \ displaystyle \ mathscr {G} _1 [/ math] se evalúa fácilmente. La integral [math] \ displaystyle \ mathscr {G} _3 [/ math] se puede identificar a partir de la definición de la integral exponencial. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} _3 = -2 \ mathrm {Ei} (t) [/ math]

La integral en [math] \ displaystyle \ mathscr {G} _2 [/ math] puede evaluarse en términos de [math] \ displaystyle \ mathrm {Ei} (t) [/ math] mediante la integración por partes:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {t} t ^ {- 2} \ mathrm {d} t = – \ frac {\ mathrm {e} ^ t} {t} – \ int \ mathrm { e} ^ t. \ left (\ frac {-1} {t} \ right) \ mathrm {d} t [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ frac {\ mathrm {e} ^ t} {t} + \ mathrm {Ei} (t) [/ math]

Combinando las tres partes, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {G} = \ mathrm {e} ^ t -2 \ frac {\ mathrm {e} ^ t} {t} + 2 \ mathrm {Ei} (t) -2 \ mathrm {Ei } (t) [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle = \ mathrm {e} ^ t \ left (1- \ frac {2} {t} \ right) [/ math]

Finalmente volviendo a la variable original [matemáticas] x [/ matemáticas], finalmente obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathscr {Z} = \ mathrm {e} ^ x \ left (\ frac {x-1} {x + 1} \ right) + C [/ math]

Answer 2

Puede escribir e ^ x (x ^ 2 + 1) / (x + 1) ^ 2 como e ^ x – 2xe ^ x / (x + 1) ^ 2. La integral del primer término es e ^ x. Para el segundo término ponga u = x + 1, entonces necesitamos integrar
-2 (u-1) e ^ (u-1) / u ^ 2 = -2e ^ (u-1) / u + 2e ^ (u-1) / u ^ 2.
La integral del segundo término es -2e ^ (u-1) / u + integral de 2e ^ (u-1) / u.
Combinando los términos, la integral es e ^ x – 2e ^ x / (x + 1) = e ^ x (x-1) / (x + 1), que concuerda con WolframAlpha y también se puede verificar por diferenciación.