Tal ecuación con un término principal de x ^ 5 tendrá 5 soluciones.
Hubiera sido bueno si la gráfica de y = x ^ 5 + 3x ^ 3 – 4x ^ 2 + 8x + 9 realmente cruzara el eje x 5 veces de la siguiente manera:
Las soluciones serían -1, 0, 1, 2 y 3, por lo que la suma habría sido 5.
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Sin embargo, el gráfico solo cruza el eje x una vez en x = -0.7125, por lo que debe tener 4 soluciones complejas. (en realidad 2 pares de pares conjugados). Aquí está el gráfico:
Las 4 soluciones complejas en realidad son aproximadamente:
1.765 + 1.1531i, 1.765 – 1.1531i, -0.82 + 1.9953i y -0.82 – 1.9953i
y la suma de las cinco soluciones es cero .
Sin embargo, una forma mucho más inteligente es simplemente decir, supongamos que las soluciones son a, b, c, dye, entonces la ecuación habría sido:
y = (x – a) (x – b) (x – c) (x – d) (x – e)
Si multiplicáramos esto obtendríamos:
y = x ^ 5 – (a + b + c + d + e) x ^ 4 + (algo) x ^ 3 + (algo) x ^ 2 + (algo) x – abcde
Si comparamos esto con la ecuación original y equiparamos los coeficientes que obtenemos:
y = x ^ 5 + 0x ^ 4 + 3x ^ 3 – 4x ^ 2 + 8x + 9
Luego vemos que a partir de los coeficientes de x ^ 4 vemos – (a + b + c + d + e) = 0
Esto simplemente significa que la suma de las raíces es cero.
Incidentalmente equiparando los términos numéricos , obtenemos – abcde = 9, entonces el producto de las raíces es – 9