Cómo resolver [matemáticas] \ log x ^ {\ log x} = 10 ^ {- 6} x [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] \ log (x ^ {\ log x}) = (\ log x) ^ 2 = 10 ^ {- 6} x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1,000,000 (\ log x) ^ 2 = x [/ matemáticas]

En x = 0, el LHS va al infinito y el RHS va a 0.

En x = 1, el LHS va a 0 y el RHS va a 1

En x = e, el LHS va a 1,000,000 y el RHS va a e.

Como [math] x \ to \ infty [/ math] el LHS crece asintóticamente más lento que el RHS.

Dado que ambos lados son continuos en (0, [math] \ infty [/ math]) esto da al menos tres soluciones, una en cada (0,1), (1, e) y (e, [math] \ infty [ /matemáticas]). Además, al considerar la derivada de LHS y RHS, podemos ver que estas son las únicas soluciones. (El LHS está disminuyendo de 0 a 1 y aumentando para x> 1, el RHS está aumentando estrictamente).

Resolviendo numéricamente obtenemos:

[matemáticas] x \ aproximadamente 0.9990 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 1.001 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox 391 [/ matemáticas] millones

Answer 2

Entonces, simplificando esta expresión, se convierte en:

[matemáticas] (\ log x) ^ 2 = hacha [/ matemáticas]

donde [matemáticas] a = 10 ^ {- 6} [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] a [/ math] es un parámetro que es muy pequeño, por lo que nos da la oportunidad de resolver esta ecuación utilizando métodos perturbativos, donde aproximamos la solución tratando [math] a [/ math] como un número pequeño.

Entonces, una cosa es darse cuenta de que cuando los argumentos de los logaritmos están cerca de la unidad, los logaritmos se vuelven pequeños. Como [math] a [/ math] es pequeño, entonces debería haber una solución cerca de la unidad.

Puede examinar las soluciones cercanas a la unidad escribiendo [math] x = 1 + \ epsilon [/ math]

[matemáticas] (\ epsilon + \ cdots) ^ 2 = a (1+ \ epsilon) [/ matemáticas]

entonces [math] \ epsilon = \ pm \ sqrt {a} + \ cdots [/ math] o [math] x = 1 \ pm \ sqrt {a} + \ mathcal {O} (a) [/ math]

La segunda cosa a tener en cuenta es que a medida que los argumentos de los logaritmos se vuelven grandes, los logaritmos no crecen dramáticamente en tamaño. Esto significa que para argumentos grandes puede pensar en la expresión como [math] b = ax [/ math] con [math] b \ simeq \ mathcal {O} (1) [/ math]. Entonces [math] x \ sim a ^ {- 1} [/ math] tiene una posible solución. Podemos obtener las correcciones logarítmicas a esto notando que [math] b \ simeq (\ log a) ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, [math] x = a ^ {- 1} (\ log a) ^ 2 (1+ \ mathcal {O} (\ log \ log a)). [/ Math]

Este método también podría funcionar si trata esta expresión como [math] (\ log x) ^ {\ log x} [/ math]. Lo primero que debe hacer es tomar un logaritmo de ambos lados y terminar con

[matemáticas] \ log x \ log \ log x = -c + \ log x [/ math]

donde [math] c = – \ log 10 ^ {- 6} [/ math] y es un número positivo “grande” ([math] c \ simeq 13.8 [/ math]) y es útil para definir [math] y = \ log x [/ math]

y por lo tanto

[matemáticas] y (1- \ log y) = c [/ matemáticas].

Notará que si [math] c \ gg 1 [/ math] entonces no hay solución (real) porque el lado izquierdo será negativo, el lado derecho será positivo. De hecho, el lado derecho tiene un valor máximo cuando [math] y = 1 [/ math], tomando un valor de 1.