Su notación de [matemáticas] R ^ + \ a R ^ + [/ matemáticas] es un poco confusa, ya que f tiene tres argumentos. Déjame asumir que te refieres al ortohante no negativo. ¿Qué pasa con [matemáticas] f (x, y, z) = g (z) [/ matemáticas]? Esto no parece estar cubierto por la meta-solución de Terry Moore. Parece que dejar caer z no elimina la esencia de su pregunta. También puedo transformar [matemáticas] F (x, y, z) = f (e ^ x, y, z) [/ matemáticas], de modo que el requisito se convierta en [matemáticas] F (x, 0, z) = f ( 0, y, z) [/ matemáticas]. Una pregunta más básica es encontrar todas las f tales que [matemáticas] f (x, 0) = f (0, y) [/ matemáticas]. Estas funciones son constantes en el mismo nivel [matemática] c \ geq 0 [/ matemática] a lo largo de los ejes xey. Hay muchas funciones de “forma cerrada” que satisfacen [matemática] f (x, 0) = f (0 , y) = c [/ matemáticas]. Por ejemplo, [matemáticas] f (x, y) = g (xy) [/ matemáticas], donde g admite forma cerrada. Otras soluciones incluyen [matemáticas] g (xy ^ 2) [/ matemáticas]. Así que creo que en general estamos viendo funciones de la forma [matemáticas] \ sum_ {j = 1} ^ k g_j (x ^ {a_j} y ^ {b_j}) [/ matemáticas], donde [matemáticas] a_j, b_j > 0 [/ math] y [math] g_j [/ math] son de forma cerrada. Una forma de mostrar que estas son todas las soluciones es mediante la expansión de Taylor f alrededor de 0, y observando que tener términos con solo factores x o y (tener exponente positivo) contradice el requisito de f.
Encuentre todas las funciones de forma cerrada f tal que f (x, 0, z) = f (1, y, z).
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No he encontrado la solución general, pero observe que si f es una solución y g, h, myn son otras funciones, entonces g (f (h (x, m (y)), n (z)) es otra solución si está bien definido
Entonces, por ejemplo, su solución x ^ (y ^ z) conduce a sin ((1 / x) ^ (tan (y) ^ (1 / sqrt (1 + z ^ 2)))).