Si [math] p = 3 ^ {\ frac13} \ times3 ^ {\ frac29} \ times3 ^ {\ frac {3} {27}} \ times \ ldots [/ math], ¿cómo encuentro el valor de [math ] p ^ {\ frac13} [/ math]?

Answer 1

Esta respuesta está escrita asumiendo que no tiene el conocimiento de las Propiedades del logaritmo y las progresiones aritméticas o geométricas. Esta pregunta requiere pensar un poco fuera de la caja.

Primero, suponga una variable X tal que:

X ^ 3 = P

(O P ^ (1/3) = X)

X ^ 3 = (3 ^ (1/3)) * (3 (2/9)) * (3 ^ (3/27))…

Ahora, sabemos que (A ^ X) * (A ^ Y) = A ^ (X + Y)

Entonces, aplicando esta propiedad, obtenemos:

X ^ 3 = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 +….)

Ahora, suponga otra variable S tal que:

S = 1/3 + 2/9 + 3/27 +…. (La expresión se convierte en X ^ 3 = 3 ^ S)

Ahora, divida esta expresión en ambos lados entre 3. Obtenemos:

S / 3 = 1/9 + 2/27 + 3/81 … ..

Ahora, si resta estas dos expresiones, obtendrá:

S – S / 3 = 1/3 + 1/9 + 1/27 +… ..

2S / 3 = 1/3 + 1/9 + 1/27 +….

Nuevamente, divida la expresión obtenida anteriormente en ambos lados por 3 y reste las 2 ecuaciones (es decir, (2S / 3) – (2S / 9))

Obtenemos:

4S / 9 = 1/3

S = 3/4

Ahora, si pones el valor de S en la ecuación X ^ 3 = 3 ^ S, el resultado es:

X ^ 3 = 3 ^ (3/4)

Ahora, si tomas la raíz cúbica de ambos lados, se obtiene la respuesta final, es decir:

X = 3 ^ (1/4)

La única parte difícil aquí es resolver la variable S sin usar la fórmula simple de la suma de una serie geométrica infinita, lo que facilita mucho el proceso de resolución.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que esta es la segunda vez que veo esta pregunta hoy, y es bastante molesto que hayas eliminado mi respuesta la primera vez (o tal vez has hecho una nueva pregunta nuevamente). De todas formas.

Escribamos el producto de exponentes como una suma, así:

[matemáticas] 3 ^ {\ frac {1} {3} + \ frac {2} {9} + \ frac {3} {27} +…} [/ matemáticas]

Ahora, lo que tenemos en el exponente es una progresión aritmético-geométrica . Básicamente, es una combinación de una progresión aritmética y una progresión geométrica. Es lo que obtienes cuando multiplicas los elementos correspondientes de una progresión aritmética y una progresión geométrica. La forma general de uno es

[matemáticas] ab, (a + d) br, (a + 2d) br ^ {2},… [/ matemáticas]

La suma de términos infinitos de tal secuencia está dada por,

[matemáticas] \ frac {ab} {1-r} + \ frac {dbr} {(1-r) ^ {2}} [/ matemáticas]

Vamos a sustituir los valores ahora:

[matemáticas] a = 1, d = 1, b = 1/3, r = 1/3 [/ matemáticas]

Y por lo tanto, la suma de los exponentes es [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática]

Por lo tanto, [matemáticas] p = 3 ^ {\ frac {3} {4}} [/ matemáticas] y por lo tanto, [matemáticas] p ^ {\ frac {1} {3}} = 3 ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas]

Answer 3

p = (3 ^ (1/3)) * (3 ^ (2/9)) * (3 ^ (3/27)) ………………… ..

p = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 ……………….)

Sea x (n) = (1/3 + 2/9 + 3/27 + ……… .. hasta n términos)

= (1/3) * (1 + 2 / (3 ^ 1) + 3 / (3 ^ 2) + …………………. + N / (3 ^ (n-1)))

(1/3) * x (n) = (1/3) * (1 / (3 ^ 1) + 2 / (3 ^ 2) + 3 / (3 ^ 3) + …………………. + n / (3 ^ n))

x (n) * (1- (1/3)) = (1/3) * (1 + (1 / (3 ^ 1) + 1 / (3 ^ 2) + …………… + 1 / ( 3 ^ (n-1))) – n / (3 ^ n)) …… .. [E1]

Ahora la serie 1 / (3 ^ 1) + 1 / (3 ^ 2) + ………… + 1 / (3 ^ (n-1)) es la suma de la progresión geométrica.

enésimo término de GP = a * r ^ (n-1).

Deje que la suma de GP sea S (n)

S (n1) = a + a * r ^ 1 + a * r ^ 2 + ……………………… .. + a * r ^ (n1-1)

r * S (n1) = a * r ^ 1 + a * r ^ 2 + a * r ^ 3 + ………………………. + a * r ^ (n1)

S (n1) * (1-r) = a – a * r ^ n1

S (n1) = a * (1 – r ^ n1) / (1 – r) [Esta es la fórmula general para encontrar la suma de cualquier GP]

En la serie 1 / (3 ^ 1) + 1 / (3 ^ 2) + ………… + 1 / (3 ^ (n-1)), a = 1/3 r = (1/3) n1 = n-2

S (n-2) = (1/3) * (1 – (1/3) ^ (n-2)) / (1 – (1/3))

= (1/3) / (1 – (1/3)) – (1/3) ^ (n-2) / (1 – (1/3))

x (n) * (2/3) = (1/3) * (1 + S (n-2) – n / (3 ^ n))

= (1/3) * (1 – n / (3 ^ n) + (1/3) / (1 – (1/3)) – (1/3) ^ (n-2) / (1 – ( 1/3)))

x (n) = (1/2) * (1 + + (1/3) / (1 – (1/3)) – (1/3) ^ (n-2) / (1 – (1/3 )) – n / (3 ^ n))

Si n = infinito, entonces el valor X es máximo

Valor máximo de X = (1/2) * (1 + + (1/3) / (1 – (1/3)))

x (infinito) = (1/2) * (1 + (1/3) / (1 – (1/3)))

= (1/2) * (1 + 1/2)

= 3/4

p = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 ……………….)

p = 3 ^ (3/4)

p ^ (1/3) = 3 ^ (1/4)

## En realidad, puedes encontrar la ecuación general para encontrar la suma de este tipo de series. Intenta derivar la fórmula general por tu cuenta

Answer 4

Podemos convertir la ecuación anterior en
3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 / +….)

Entonces ahora tenemos que calcular la suma de 1/3 + 2/9 + 3/27 +….
Dejenos considerar

S = 1/3 + 2/9 + 3/27 + 4/81 + …… .. Eq1
Entonces S / 3 será

S / 3 = 1/9 + 2/27 + 3/81 + …… Eq2

Ahora reste la ecuación 2 de 1 cambiando cada número de ecuación 2 por 1.

Entonces la ecuación parece

(SS / 3) = 1/3 + (2 / 9-1 / 9) + (3 / 27-2 / 27)… ..

Entonces obtendremos

2S / 3 = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + …….

Ahora tenemos 1/3 + 1/9 + 1/27 + … es GP infinito (progresión geométrica)

Fórmula para la progresión geométrica (infinito) = a / (1-r). Donde r es la razón común y a es el primer término de GP

Aquí a = 1/3 yr = 1/3

De ahí obtenemos

2S / 3 = (1/3) / (1-1 / 3)

2S / 3 = (1/3) / (2/3)

2S / 3 = 1/2

S = 3/4

Por lo tanto P = 3 ^ 3/4

Por lo tanto P ^ 1/3 = 3 ^ 3/12