Si [math] f ^ {- 1} (x) [/ math] es la función inversa a [math] f (x) [/ math], entonces [math] f ^ {- 1} (f (g ( x)) [/ math] siempre igual [math] g (x) [/ math]?

Answer 1

Sí, suponiendo que [math] f ^ {- 1} [/ math] realmente es el inverso de [math] f [/ math]. Esa es la definición de una inversa. También es el caso de que [matemáticas] f (f ^ {- 1} (g (x))) = g (x) [/ matemáticas].

Debe tener cuidado de que realmente está trabajando con un inverso. Para que una función tenga un inverso, debe ser una inyección: [matemática] f (x) = f (y) \ implica x = y [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática] no es una inyección porque [matemática] f (-2) = f (2) = 4 [/ matemática]. La función [math] f ^ {- 1} (x) = \ sqrt (x) [/ math] no es una inversa de [math] f (x) = x ^ 2 [/ math] debido a eso. Si tuviera que restringir el dominio de [math] f (x) = x ^ 2 [/ math] a solo no negativo [math] x \ geq 0 [/ math], entonces [math] \ sqrt (x) [ / math] sería su inverso, en ese dominio. Si [matemática] g (x) <0 [/ matemática], entonces [matemática] \ sqrt {(g (x)) ^ 2}, (\ sqrt {g (x)}) ^ 2 [/ matemática] ser indefinido, no [matemática] g (x) [/ matemática].

Pero con funciones invertibles definidas en un dominio que incluye [matemática] g (x) [/ matemática], entonces sí, [matemática] f ^ {- 1} (f (g (x))) = f (f ^ {- 1} (g (x))) = g (x) [/ matemáticas].

Answer 2

No

Estoy de acuerdo en que mi respuesta va en contra de la intuición, pero es verdad.

No tiene que serlo.

Considere el siguiente ejemplo. Tenga en cuenta que la diferencia se debe a la definición de las funciones en cuestión.

Sea [math] g (x) = \ dfrac {2 \ pi} {3} [/ math], una función constante. Sea [math] f (x) = sin (x) [/ math]. Entonces, tenemos [matemáticas] f ^ {- 1} (x) = sin ^ {- 1} (x) [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] pecado ^ {- 1} (pecado (\ dfrac {2 \ pi} {3})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = pecado ^ {- 1} (- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {\ pi} {3} \ neq g (x) [/ matemáticas]

Answer 3

Sí, precisamente Lo que hiciste allí fue reemplazar el símbolo [math] x [/ math] con [math] g (x) [/ math].

Por supuesto, hay que [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] debe estar dentro del dominio de la cosa f (x), etc.

Answer 4

Sí, suponiendo que realmente estés lidiando con lo inverso.