¿Por qué un grupo solo puede ser un subespacio de un espacio lineal si ambos están en el mismo campo?

Answer 1

Hay al menos dos formas de representar los números complejos como un espacio vectorial utilizando la misma noción de suma y multiplicación escalar:

1. Como un espacio vectorial complejo unidimensional (cada campo es un espacio vectorial sobre sí mismo).
2. Como un espacio vectorial real bidimensional (cada número complejo puede expresarse en la forma [math] a + bi [/ math] para algunos [math] a, b \ in \ mathbb {R} [/ math]).

Si la definición de un subespacio lineal no requiere que los dos espacios vectoriales estén sobre el mismo campo, entonces la segunda representación anterior debería ser un subespacio del primero. No hay nada objetivamente malo en esto , pero no coincide con nuestras expectativas de lo que estábamos tratando de definir (esperamos que los subespacios tengan una dimensión más baja).

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Rareza relacionada:

• [math] \ mathbb {R} [/ math] forma un espacio vectorial de dimensiones infinitas sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math].
• Hay campos que no son un subcampo de los números complejos (por ejemplo, Campos de orden finito).

Answer 2

Entonces, su pregunta es por qué los números complejos de espacio vectorial sobre el campo de números reales no son un subespacio del espacio vectorial de números reales sobre el campo de números complejos.

Es importante tener en cuenta que no solo nos importa un conjunto cuando miramos espacios vectoriales, también nos importa la estructura que viene con él.

La definición de un subespacio vectorial es la siguiente

Un subconjunto [matemático] U \ subconjunto V [/ matemático] de un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre algún campo [matemático] K [/ matemático] es un subespacio lineal si

1. [matemáticas] 0 \ en U [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ forall u, v \ en U, \ forall \ lambda, \ mu \ en K: \ lambda u + \ mu v \ en U [/ math]

Entonces, usted ve que no solo [math] U [/ math] debe ser un subconjunto de [math] V [/ math], sino que el campo de coeficiente también debe ser el mismo, de lo contrario es imposible para [math] U [ / math] para ser un subespacio lineal de [math] V [/ math]. Por lo tanto, uno de los dos espacios vectoriales que proporcionó no puede ser un subespacio del otro.