¿Cuáles son todas las raíces complejas de [matemáticas] x ^ 3 + 27 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

¡No nos importan las raíces reales!

MÉTODO 1

[matemáticas] x ^ 3 + 27 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 3) (x ^ 2-3x + 9) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {9-36}} {2} = 3 \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {3} i} {2} [/ matemáticas]

MÉTODO 2

[matemáticas] x ^ 2-3x + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ left (x ^ 2-3x + \ dfrac94 \ right) = \ dfrac {-27} {4} [/ math]

[matemática] \ left (x- \ dfrac32 \ right) ^ 2 = \ dfrac {-27} {4} [/ math]

[matemáticas] \ left (x- \ dfrac32 \ right) = \ pm \ dfrac {3 \ sqrt3i} {2} [/ math]

[matemáticas] x = 3 \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {3} i} {2} [/ matemáticas]

MÉTODO 3

[matemáticas] x ^ 3 = -27 = 3 ^ 3e ^ {i \ pi} = 3 ^ 3e ^ {i3 \ pi} = 3 ^ 3e ^ {i5 \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3e ^ {i \ frac {\ pi} {3}} [/ matemáticas] o 3 [matemáticas] e ^ {i \ frac {5 \ pi} {3}} [/ matemáticas]

Recuerde, [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

[matemáticas] x = 3 \ dfrac {1 \ pm \ sqrt3i} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

¿Cuáles son las tres raíces de x³ = -27?

Usemos un poco de trigonometría para resolver esto.

Paso uno: Obtenga una hoja de “Trig Graph Paper” como la que puede descargar aquí: http: //www.mazes . com / math / trig-graph-paper.gif

PASO DOS: Dibuja las etiquetas del eje

• Eje horizontal: parte real de cada complejo #: una parte de ax + b i
• Eje vertical: parte imaginaria de cada complejo #: b parte de ax + b i

PASO TRES: Grafica la respuesta que sabes:

• √ (-27) = -3
• Para nuestra primera respuesta, trace un punto en (-1, 0) y dibuje una línea desde el origen hasta este punto.

• La longitud del radio es 3, valor absoluto de nuestra solución real.

• El | -3 | = 3

El punto (-1, 0) representa la cantidad (-1 + 0 i )

• Multiplicamos 3 veces el valor de ese punto complejo para obtener nuestra primera respuesta (real).

PASO CUATRO: Trace las otras dos líneas (tres líneas en total para la ecuación cúbica)
→ → → y dibuje el resto del eje horizontal

PASO CINCO: Mida o calcule los ángulos desde el eje horizontal positivo a cada una de las tres líneas de radio:

• Sabemos que la línea roja tiene una medida angular de -180 grados o π radianes
• Sabemos que todo el círculo tiene una medida de 360 grados o 2π radianes , así que divídalo entre 3 para obtener 120 grados o [matemáticas] \ frac {2} {3} [/ matemáticas] π radianes .
• Haré el resto de mi explicación con grados

• 180 – 120 = 60 grados
• 180 + 120 = 300 (o -60) grados

Nuestros tres ángulos son 60, 180 y 300 grados,

• pero como ya sabes, 300 ° es coterminal con -60 °

PASO SEIS: Use la trigonometría para determinar a qué equivalen los otros dos puntos:

• ¿Cuáles son el coseno y el seno de 60 °, de 300 ° o 180 °?

• ya debería haber memorizado los valores de coseno y seno para todos los ángulos estándar, 0, 30, 45, 60 y 90 grados.
• cos (60) = [matemáticas] \ frac12 [/ matemáticas]
• sin (60) = [matemáticas] \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas]
• cos (-60) = [matemáticas] \ frac12 [/ matemáticas]
• sin (60) = – [matemáticas] \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas]
• cos (180 °) = -1
• sin (180 °) = 0

Rotula los puntos:

• ([matemáticas] \ frac12, \, \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas]
• ([matemáticas] \ frac12, \, – \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas]
• (-1, 0)

PASO SIETE: Convierta los puntos trazados en números complejos

• radio (coseno + seno · i )

• 3 ([matemáticas] \ frac12 \, + \, \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas] i)
• 3 ([matemáticas] \ frac12 \, – \, \ frac {\ sqrt3} {2} [/ matemáticas] i)
• 3 (-1 + 0 i ) = -3

PASO OCHO: Verifique dos veces su trabajo:

Espero que esto tenga sentido.

Answer 3

Ok, explicaré el método a medida que avance, así que intenta aguantar.

Entonces, [matemáticas] x ^ 3 = -27 [/ matemáticas]. La primera raíz para encontrar es la más obvia: [matemáticas] -3 [/ matemáticas]. Es bastante fácil ver que la sustitución de [math] -3 [/ math] se ajustará a la ecuación.

Ahora que conocemos una raíz, es bastante fácil factorizar la ecuación. Entonces:

[matemáticas] x ^ 3 + 27 = 0 [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] (x + 3) (x ^ 2 + hacha + b) = 0 [/ matemáticas]

Sin embargo, esto es simplemente una expresión. Necesitamos encontrar qué son [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].

Hay muchas maneras de hacer esto, pero simplemente multiplicaré la expresión, dando:

[matemáticas] x ^ 3 + hacha ^ 2 + bx + 3x ^ 2 + 3ax + 3b = x ^ 3 + 27 [/ matemáticas]

Ahora que tenemos la versión ampliada y original, podemos equiparar los coeficientes para encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].

---

Igualar [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]:

[matemáticas] x ^ 3 = x ^ 3 [/ matemáticas]

No hay información nueva aquí.

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Igualar [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] ax ^ 2 + 3x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = -3 [/ matemáticas]

---

Igualar [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] bx + 3ax = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = -3a = 9 [/ matemáticas]

---

Números equivalentes:

[matemáticas] 3b = 27 [/ matemáticas]

También muestra que [matemáticas] b = 9 [/ matemáticas]

---

Entonces, ahora sabemos que

[matemáticas] x ^ 3 + 27 = (x + 3) (x ^ 2-3x + 9) = 0 [/ matemáticas]

¿Dónde podemos ir desde aquí? La forma más simple es usar la fórmula cuadrática:

[matemáticas] \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Para esta fórmula, [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = -3 [/ matemática] y [matemática] c = 9 [/ matemática]

[matemáticas] \ dfrac {–3 \ pm \ sqrt {(- 3) ^ 2-4 \ times1 \ times9}} {2 \ times1} = \ dfrac {3 \ pm \ sqrt {-27}} {2} [ /matemáticas]

Esto da 2 respuestas:

[matemáticas] x = \ dfrac {3 + 3 \ sqrt {3} i} {2} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] x = \ dfrac {3-3 \ sqrt {3} i} {2} [/ matemáticas]

Y ahí tienes tus 2 soluciones complejas.

Answer 4

Esta es una buena aplicación directa del teorema de De Moivre

dejar z = r cis (θ)

___________________________________________________________________

¡Me gustaría “enchufar” un pequeño punto aquí!

Answer 5

Use A ^ 3 + B ^ 3 = (A + B) (A ^ 2-AB + B ^ 3) para x ^ 3 + 27.
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
= (x + 3) (x ^ 2-3x + 9)
x ^ 3 + 27 = 0 => (x + 3) (x ^ 2-3x + 9) = 0
=> x = -3, (3 ± √ (9-36)) / 2
=> x = -3, (3 ± 3√ (3) i) / 2

Answer 6

Digamos, [math] x = \ alpha {i} + \ beta [/ math], donde [math] \ alpha \ neq {0} [/ math].

Entonces, [matemáticas] (\ alpha {i} + \ beta) ^ 3 + 27 = 0 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] (\ alfa {i} + \ beta) ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ alpha ^ 3i ^ 3 + 3 \ alpha ^ 2i ^ 2 \ beta + 3 \ alpha {i} \ beta ^ 2 + \ beta ^ 3) = -27 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ alpha ^ 3 (-1) i + 3 \ alpha ^ 2 (-1) \ beta + 3 \ alpha {i} \ beta ^ 2 + \ beta ^ 3) = -27 [/ matemáticas]

desde [matemáticas] -27 = 0i + (-27) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ alpha ^ 3 (-1) i + 3 \ alpha {i} \ beta ^ 2 = 0i [/ matemáticas] y [ matemáticas] 3 \ alpha ^ 2 (-1) \ beta + \ beta ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

Parte imaginaria:

[matemáticas] \ alpha ^ 3 (-1) i + 3 \ alpha {i} \ beta ^ 2 = 0i [/ matemáticas]

[matemática] – \ alpha ^ 3 + 3 \ alpha \ beta ^ 2 = 0 [/ matemática], como [matemática] \ alpha \ neq {0} [/ matemática], divida por [matemática] \ alpha [/ matemática]

[matemáticas] – \ alpha ^ 2 + 3 \ beta ^ 2 = 0 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] \ alpha ^ 2 = 3 \ beta ^ 2 [/ matemáticas]

Parte real:

[matemática] 3 \ alpha ^ 2 (-1) \ beta + \ beta ^ 3 = -27 [/ matemática], sustituya [matemática] \ alpha ^ 2 = 3 \ beta ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] 3 (3 \ beta ^ 2) (- 1) \ beta + \ beta ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

[matemáticas] -9 \ beta ^ 3 + \ beta ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

[matemáticas] -8 \ beta ^ 3 = -27 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] \ beta ^ 3 = \ frac {27} {8} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = \ frac {3 } {2} [/ matemáticas]

Entonces, dado que [math] \ alpha ^ 2 = 3 \ beta ^ 2 [/ math] y [math] \ beta ^ 2 = \ frac {9} {4} [/ math], entonces [math] \ alpha = \ pm \ sqrt {3 \ times \ frac {9} {4}} = \ pm \ frac {3} {2} \ times \ sqrt {3} [/ math].

Entonces, como [matemáticas] x = \ alpha {i} + \ beta [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {3} {2} \ veces (\ pm \ sqrt {3} i + 1) [/ matemáticas]

Answer 7

Si p es la raíz cúbica de un número, las otras dos raíces cúbicas son pw y [math] pw ^ 2 [/ math] donde w es la raíz cúbica de la unidad.

Ahora [matemáticas] x ^ 3 = -27 [/ matemáticas] Entonces [matemáticas] x = -3 [/ matemáticas]

Por lo tanto, las raíces complejas del cubo son [matemáticas] -3w [/ matemáticas] y [matemáticas] -3w ^ 2 [/ matemáticas]

Espero que haya sido útil.