Cómo calcular el límite de [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2 + x – 2} + x [/ matemáticas] a medida que x se acerca a [matemáticas] \ pm \ infty [/ matemáticas]

Answer 1

Para todos [math] x \ ge 2 [/ math], tenemos [math] \ sqrt {x ^ 2 + x-2} + x \ ge \ sqrt {x ^ 2 + 2-2} + x = \ sqrt {x ^ 2} + x = 2x [/ matemáticas]. Entonces, como [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to + \ infty} 2x = + \ infty [/ math], tenemos ese [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to + \ infty} \ sqrt {x ^ 2 + x-2} +2 = + \ infty [/ math] también.

El límite como [math] x \ to – \ infty [/ math] es un poco más complicado ya que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ sqrt {x ^ 2 + x-2} = + \ infty [/ math] mientras [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} x = – \ infty [/ math]. Esto significa que el límite [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ left [\ sqrt {x ^ 2 + x-2} + x \ right] [/ math] es un ejemplo de la forma indeterminada [ matemáticas] \ infty- \ infty [/ matemáticas]. Por lo tanto, no podemos concluir que la respuesta sea simplemente [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Al multiplicar el numerador y el denominador por [math] \ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x [/ math] y simplificar, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ left [\ sqrt {x ^ 2 + x-2} + x \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {(\ sqrt {x ^ 2 + x-2} + x) (\ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x)} {\ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {(x ^ 2 + x-2) -x ^ 2} {\ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x} [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {x-2} {\ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {\ tfrac {x-2} {- x}} {\ tfrac {\ sqrt {x ^ 2 + x-2} -x} { -x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {-1+ \ tfrac {2} {x}} {\ sqrt {\ tfrac {x ^ 2 + x-2} {(- x ) ^ 2}} – \ tfrac {x} {- x}} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} \ dfrac {-1+ \ tfrac {2} {x}} {\ sqrt {1- \ tfrac {1} {x} – \ tfrac {2 } {x ^ 2}} + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {-1 + 0} {\ sqrt {1-0-0} +1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2}. [/ matemáticas]

Answer 2

Cuando ve un signo de raíz cuadrada y un límite, en realidad solo se aplica un límite, y eso proviene del teorema binomial:

[matemáticas] \ sqrt {1+ \ epsilon} = 1 + \ epsilon / 2 + O (\ epsilon ^ 2) [/ math].

Todo bien y bien. Parece que una buena manera de comenzar es comenzar con [matemáticas] x ^ 2 + x-2 = (x ^ 2) (1 + 1 / x-2 / x ^ 2) [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2 + x-2} = \ sqrt {x ^ 2} \ cdot (1 + 1 / 2x + O (x ^ {- 2})) [/ math]. A partir de aquí, debería ser fácil descubrir qué necesita hacer, con solo una arruga.

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas] no es [matemáticas] x [/ matemáticas] …