Si [math] \ sqrt x = 111,111,111 [/ math], ¿cuál es el valor de [math] x [/ math]?

Answer 1

Hagámoslo para un caso general,

[matemáticas] \ sqrt {x} = y = 111… 11 [/ matemáticas] (n veces)

1. [matemáticas] y = 10 ^ 0 + 10 ^ 1 + 10 ^ 2 + \ cdots + 10 ^ {n-1} [/ matemáticas]
2. [matemáticas] 10y = 10 ^ 1 + 10 ^ 2 + 10 ^ 3 + \ cdots + 10 ^ n [/ matemáticas]

Restando (1) de (2)

[matemáticas] 9y = 10 ^ n-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {10 ^ n-1} {9} [/ matemáticas]

Ahora podemos cuadrarlo fácilmente

[matemáticas] x = \ dfrac {10 ^ {2n} -2 \ veces10 ^ n + 1} {81} [/ matemáticas]

¡Ahí tienes!

Para [matemáticas] n = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {10 ^ {18} -2 \ veces10 ^ 9 + 1} {81} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {999,999,998,000,000,001} {81} [/ matemáticas]

Dividir entre 81 es un poco difícil, por lo que podemos dividirlo entre [matemáticas] 9, [/ matemáticas] [matemáticas] 2 [/ matemáticas] veces

[matemáticas] = \ dfrac {111,111,110,888,888,889} {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 12345678987654321 [/ matemáticas]

¡Buena suerte!

Answer 2

12345678987654321

El concepto es muy simple …

Para los números que contienen 1 como [matemática] 11 o 111 o 111 [/ matemática], su cuadrado se puede calcular como

(1111… a n) [matemáticas] ^ 2 = 1234…. (K-2) (k-1) k (k-1) (k-2)… ..4321 [/ matemáticas],

donde k es “suma de todos los dígitos”

y

No. de dígitos en la respuesta [matemática] = ((no. De dígitos) * 2) -1 [/ matemática]

p.ej

[matemáticas] 11 ^ 2 = 121 [/ matemáticas]

k = suma de todos los dígitos = (1 + 1) = 2

Número de dígitos en la respuesta = [matemáticas] (2 * 2) -1 = 3 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] 11 ^ 2 = 121 [/ matemáticas]

similar,

[matemáticas] 111 ^ 2 = 12321 [/ matemáticas]

k = (1 + 1 + 1) = 3

Núm. De dígitos en respuesta = [matemática] (3 * 2) -1 = 5 [/ matemática]

Entonces [matemáticas] 111 ^ 2 = 12321 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1111 ^ 2 = 1234321 [/ matemáticas]

…

entonces para

[matemáticas] 111111111 ^ 2 = 12345678987654321 [/ matemáticas]

Answer 3

Enfoque 1:

Creo que usas Google muy a menudo.

Por lo tanto, te daré la respuesta que Google me dio.

[matemáticas] \ sqrt (x) = 111111111 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 111111111 ^ 2 [/ matemáticas]

Acabo de hacer esto en Google:

Y obtuve la respuesta.

Enfoque 2:

Otra forma es simplemente ver el patrón,

[matemáticas] 11 * 11 = 121 [/ matemáticas]

[matemáticas] 111 * 111 = 12321 [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] 1111 * 1111 = 1234321 [/ matemáticas]

y siguiendo la tendencia, obtenemos

[matemáticas] 111111111 * 111111111 = 12345678987654321 [/ matemáticas]

Creo que es bastante simple.

Saludos.

Answer 4

Tenga en cuenta que

[matemáticas] 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 11 ^ 2 = (10 + 1) ^ 2 = 10 ^ 2 + 2 (10) (1) + 1 ^ 2 = 100 + 20 + 1 = 121 [/ matemáticas]

[matemáticas] 111 ^ 2 = (100 + 11) ^ 2 = 100 ^ 2 + 2 (100) (11) + 11 ^ 2 = 10000 + 2200 + 121 = 12321 [/ matemáticas]

[matemática] 1111 ^ 2 = (1000 + 111) ^ 2 = 1000 ^ 2 + 2 (1000) (111) + 111 ^ 2 = 1000000 + 222000 + 12321 = 1234321 [/ matemática]

[matemáticas] \ ldots [/ matemáticas]

Aquí tenemos que resolver [math] \ sqrt {x} = 111111111 \ implica x = 111111111 ^ 2 [/ math]. Si miramos el patrón, entonces tenemos que [matemáticas] x = 12345678987654321 [/ matemáticas]

Answer 5

Aquí hay dos formas de llegar a la solución que puedo ver:

Solución 1:

Podemos forzar cuasi-bruto este cálculo de la siguiente manera:

[matemáticas] 111,111,111 = (10 ^ 8 + 10 ^ 7 + \ ldots + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 111,111,111 ^ 2 = (10 ^ 8 + 10 ^ 7 +… + 1) (10 ^ 8 + 10 ^ 7 +… + 1) [/ matemáticas]

A continuación, recopilamos términos para cada poder. Podemos ver que la solución será de la forma

[matemáticas] a_ {16} * 10 ^ {16} + a_ {15} * 10 ^ {15} +… + a_8 * 10 ^ 8 +… + a_0 [/ matemáticas]

Pon x = 10 para escribir la expresión en términos de x:

[matemáticas] (1 + x + x ^ 2 +… + x ^ 8) (1 + x + x ^ 2 +… + x ^ 8) [/ matemáticas]

Recopilar coeficientes de [matemáticas] x ^ 0, x ^ 1,…, [/ matemáticas] etc.

[matemáticas] x ^ 0: 1 (x ^ 0, x ^ 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 1: 2 (1, x), (x, 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2: 3 (1, x ^ 2), (x ^ 2, 1), (x ^ 2, x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3: 4 (1, x ^ 3), (x ^ 3, 1), (x ^ 2, x), (x, x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4: 5 (1, x ^ 4), (x ^ 4, 1), (x, x ^ 3), (x ^ 3, x), (x ^ 2, x ^ 2) [ /matemáticas]

…

[matemáticas] x ^ 8: 9 (1, x ^ 8), (x ^ 8,1), (x, x ^ 7), (x ^ 7, x ^ 1),…, (x ^ 4, x ^ 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 9: 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {10}: 7 [/ matemáticas]

…

[matemáticas] x ^ {16}: 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, podemos agregar estos, poner x = 10 y demostrar que la solución sería 12345678987654321

Solución 2: una variante de una de las soluciones a continuación

Esta idea me llamó la atención sobre el hecho de que 1/9 = 0.11111 … Entonces podemos transponer a la solución dada por Devansh Sehta aquí. Pero varíen un poco:

La expansión de la serie Taylor de 1 / (1-x) funciona como

[matemáticas] 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + \ ldots + \ infty [/ matemáticas]

Así

[matemáticas] 111,111,111 = 10 ^ 8 (1 + 1/10 + \ ldots + 1/10 ^ 8) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 10 ^ 8 [(1 + 1/10 + \ ldots + \ infty) -1 / 10 ^ 9 (1 + 1/10 + \ ldots + \ infty)] [/ math]

[matemática] = 10 ^ 8 (1 / (1–0.1) -1 / 10 ^ 9 \ veces 1 / (1–0.1)) [/ matemática]

[matemáticas] = 10 ^ 8 \ veces 10 / 9–1 / 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 10 ^ 9 / 9–1 / 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/9 \ veces (10 ^ 9–1) [/ matemáticas]

Cuadratura:

Obtenemos (ver la publicación de Devansh Sehta)

[matemáticas] 1/81 \ veces (10 ^ {18} –2 \ veces 10 ^ 9 + 1) = 12345678987654321 [/ matemáticas]

Answer 6

11 ^ 2 = 121 (n0 de 1s 2)

111 ^ 2 = 123 21 (no de 1s 3)

1111 ^ 2 = 1234 321 (no de 1s 4)

entonces, podemos ver fácilmente el patrón de los ejemplos anteriores.

depende de no de 1, primero aumentando hasta no de 1 y luego disminuyendo a 1 ..

entonces, 11,11,11,111 ^ 2 = 123456789 87654321

Entonces, 12345678987654321 es la respuesta.

Answer 7

hacerlo de esta forma

primer recuento no. De 1s

aquí hay nueve

ahora escriba los números 1—9 primero y luego 8—1 en reversa con su respuesta

respuesta: —12345678987654321

el truco funciona porque cuando escribes nos en forma estándar como valor nominal en el valor posicional y aplicas el producto, todo lo que obtienes son algunos de n dígitos en el medio, n-1 dígitos a cada lado del medio, entonces n-2 y así sucesivamente … hasta ceros

Answer 8

11 * 11 = 121

111 * 111 = 12321

1111 * 1111 = 1234321

y así….

el patrón que se sigue n veces 1 cuando se cuadra el resultado 123 … n … 321

como hay 9 1’s, la respuesta es 12345678987654321