¿Qué es [math] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math] de [math] y = x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}}} [/ math]?

Answer 1

Comencemos con el caso de los poderes finitos para este problema. Comencemos también con un problema más simple.

Deje [math] \ displaystyle y_1 = x ^ x [/ math]. Se puede encontrar por diferenciación o mediante el uso de varios sistemas de álgebra computacional que:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y_1} {\ mathrm {d} x} = x ^ x (1+ \ ln (x)) [/ math]

Para ver pruebas adicionales del resultado anterior, vea las respuestas a la pregunta de Quora ¿Cuál es la derivada de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]?

Deje [math] \ displaystyle y_2 = x ^ {x ^ x} [/ math]. Se puede demostrar que:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y_2} {\ mathrm {d} x} = x ^ {x ^ x} \ left (x ^ {x-1} + x ^ x \ ln (x) (1+ \ ln (x)) \ right) [/ math]

Para ver pruebas adicionales del resultado anterior, consulte las respuestas a la pregunta de Quora ¿Cuál es la derivada de [matemáticas] x ^ {x ^ x} [/ matemáticas]?

Tomando [math] \ displaystyle y_3 = x ^ {x ^ {x ^ x}} [/ math], la derivada es (verificada con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y_3} {\ mathrm {d} x} = x ^ {x ^ {x ^ x}} \ left (x ^ {x ^ x-1} + x ^ {x ^ x} \ ln (x) \ left (x ^ {x-1} + x ^ x \ ln (x) (1+ \ ln (x)) \ right) \ right) [/ math]

Ahora deje que [math] \ displaystyle y = x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}}} [/ math]

Esto llevará un proceso de diferenciación más largo y algo más complicado, pero uno debe seguir las mismas reglas y procedimientos que en los poderes o torres de poder más simples y anteriores.

Usando Mathematica y escribiendo el código:

D [x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x, x]

se encuentra que [math] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math] es igual a:

El resultado de diferenciación anterior se puede ampliar para tomar la siguiente forma:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \\ x ^ {x ^ x + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ { x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} + x ^ {x ^ {x ^ x}} + x ^ {x ^ x} + x} \ ln ^ 8 (x) \\ + x ^ {x ^ x + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x} }} + x ^ {x ^ {x ^ x}} + x ^ {x ^ x} + x} \ ln ^ 7 (x) \\ + x ^ {x ^ x + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ { x ^ {x ^ {x ^ x}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} + x ^ {x ^ {x ^ x}} + x ^ {x ^ x} + x-1} \ ln ^ 6 (x) \\ + x ^ {x ^ x + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} + x ^ {x ^ {x ^ x}} + x ^ {x ^ x} -1} \ ln ^ 5 (x) \\ + x ^ {x ^ {x ^ { x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} + x ^ {x ^ {x ^ x}} + x ^ {x ^ x } -1} \ ln ^ 4 (x) \\ + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} + x ^ {x ^ {x ^ x}} – 1} \ ln ^ 3 (x) \\ + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ { x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x} }}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}} – 1} \ ln ^ 2 (x) \\ + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ { x ^ {x ^ x}}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}} – 1} \ ln (x) \\ + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}} \\ + x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}} – 1}} [/ matemáticas ]

Esta es la solución requerida para la pregunta dada.

A continuación se muestra un gráfico de la parte real de la función [matemáticas] \ displaystyle y = x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ x}}}}}}}} [ / math] (en naranja) y de su derivada [math] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math] (/ blue), en Mathematica:

Se puede verificar con un CAS que las dos curvas anteriores se cruzan en los puntos que tienen coordenadas [matemática] (0.395435, 0.581064) [/ matemática] y [matemática] (1, 1) [/ matemática].

En caso de que haya un número infinito de potencias, se sabe que la Tetración infinita o la torre de potencia infinita de [matemática] x [/ matemática] (extendida a números complejos) se puede expresar como:

[matemática] {\ displaystyle {} ^ {\ infty} x = x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} = {\ frac {\ mathrm {W} (- \ ln { x})} {- \ ln {x}}}} [/ math]

donde [math] W (z) [/ math] es la función Lambert W o la función de registro del producto.

Deje [math] \ displaystyle f = {\ frac {W (- \ ln (x))} {- \ ln (x)}} [/ math]. La primera derivada de [math] f [/ math] se puede encontrar aplicando la regla del cociente de diferenciación y usando las derivadas de [math] W (x) [/ math] y de [math] \ ln (x) [ / matemáticas], calculando y desarrollando.

Se encuentra que la derivada es:

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ begin {align} \ frac {df} {dx} & = \ frac {W (- \ ln (x)) ^ 2} {x \ ln ^ 2 (x) (W ( – \ ln (x)) + 1)} \\ & = \ frac {e ^ {- 2 W (- \ ln (x))}} {x W (- \ ln (x)) + x} \ end {alinear}} [/ matemáticas]

Para obtener más detalles sobre el último resultado anterior, vea mi respuesta La respuesta de Emad Noujeim a ¿Cómo puedo diferenciar [matemáticas] y = x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots \ infty}}} [/ matemáticas]?

Answer 2

Si eso es realmente 9 poderes allí, entonces es un problema de mierda y no lo estoy resolviendo. Pero si se trata de un número infinito de poderes, la pregunta tiene mucho más sentido.

Tenemos [matemáticas] y = x ^ {y} [/ matemáticas]

Tomando logaritmo en ambos lados,

[matemáticas] log (y) = y * log (x) [/ matemáticas]

Diferenciar ambos lados wrt x.

[matemáticas] \ frac {1} {y} * \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} * log (x) + \ frac {y} {x} [/ math]

Tomando [math] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math] términos comunes:

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {1} {y} -log (x) \ right) = \ frac {y} {x} [ /matemáticas]

Y por lo tanto,

[matemática] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {y ^ {2}} {x (1-y * log (x))} [/ math]

Answer 3

Asumiendo una torre infinita de poderes, esto es:

[matemáticas] y = x ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {y \ ln x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ left (\ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} \ ln x + \ frac {y} {x} \ right) e ^ {y \ ln x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = y \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} \ ln x + \ frac {y ^ 2} {x} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ frac {y ^ 2} {x (1 – y \ ln x)} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ frac {y ^ 2} {x \ left (1 – \ ln \ left (x ^ y \ right) \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ frac {y ^ 2} {x (1 – \ ln y)} [/ math]

Más interesante es encontrar el dominio de la función original.

[matemáticas] y = x ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln y = y \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x = \ frac {\ ln y} {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ \ frac {\ ln y} {y} [/ matemáticas]

Ahora, ¿cuál es el rango de [matemáticas] \ frac {\ ln y} {y} [/ matemáticas]

Obviamente [math] \ frac {\ ln y} {y} [/ math] no tiene límite inferior, [math] \ lim_ {y \ to 0} \ left (\ frac {\ ln y} {y} \ right) = – \ infty [/ math]

Para encontrar el límite superior, hacemos [matemáticas] \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dy} \ left (\ frac {\ ln y} {y} \ right) = \ frac {1 – \ ln y} {y ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces, en el máximo, esto será igual a 0, lo que implica que [math] y = \ mathrm e [/ math]

Entonces, en general, el rango de [math] \ frac {\ ln y} {y} [/ math] es [math] \ frac {\ ln y} {y} \ le \ frac {1} {\ mathrm e} [/ matemáticas]

Entonces, el dominio de la función original es [matemáticas] 0

Answer 4

Wolfram da el siguiente resultado:

La solución manual es definitivamente posible suponiendo [matemáticas] x ^ x = a [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ a = b [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ b = c [/ matemáticas] y así sucesivamente …

Answer 5

Y = XXXXXXXXX

Como sabemos eso, XXXXXXXX = X ^ 8

Para que podamos escribir la ecuación como

Y = X ^ 8

INICIAR SESIÓN EN AMBOS LADOS QUE OBTENEMOS

LOGY = 8x.LOGX

TOMANDO DERRIVATIVE (d / dx) en ambos lados obtenemos

d / dx (logy) = d / dx {8.x (logx)}

o, 1 / a. dy / dx = 8. {(logx) + 1 / x .x}

o,

1 / año.dy / dx = 8logx +8

o, dy / dx = 8.y.logx + 8y

o, dy / dx = 8 x ^ 8.logx + 8.x ^ 8 [poniendo el valor de y = x ^ 8]

o, dy / dx = 8logx ^ x ^ 8 + 8.x ^ 8

Apuesto 5 mil dólares a Emad Noujeim porque su solución está equivocada .bro, sin ofender, pero a veces no tienes que esforzarte demasiado para encontrar una solución simple, simplemente déjalo ir con el más simple de tus conocimientos.

.

Answer 6

Answer 7

Puede reescribir la ecuación como y = x ^ y y aplicar el logaritmo en ambos lados, por lo tanto logy / y = logx, ahora diferencie en ambos lados con respecto a x, lo que lleva a dy / dx = y ^ 2 / x (1- pesado)

Answer 8

Hola,

Lo siguiente podría ser la derivada.

Como y = x ^ x ^ x ^ x…., Entonces esta ecuación se puede escribir como

y = x ^ y, entonces uno puede tomar un registro natural en ambos lados, obtenemos

ln (y) = y * ln (x)

Ahora diferenciar la ecuación anterior en ambos lados con respectiva a x, obtenemos

(1 / y) (dy / dx) = (y / x) + ln (x) * (dy / dx)

Reorganizando la ecuación anterior, obtenemos

dy / dx = (y ^ 2 / (x * (1-ln (x))

Espero que sea correcto.

J

Answer 9

Necesitabas especificar cómo se asocian las xs. Por ejemplo (x ^ x) ^ x (hacia arriba) no es lo mismo que x ^ (x ^ x) (hacia abajo). Parece que quisiste decir hacia abajo. Por supuesto (x ^ x) ^ x = x ^ (x ^ 2).