¿Cuál es la diferencia entre [matemáticas] = [/ matemáticas] y [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] en matemáticas?

Answer 1

El primero ([math] = [/ math]) es el “operador de igualdad”, mientras que el segundo ([math] \ equiv [/ math]) es el operador de equivalencia.

El operador de equivalencia ([math] \ equiv [/ math]) se define típicamente en la lógica proposicional de la siguiente manera:

Considere 2 proposiciones P y Q –

(Una proposición es una declaración que es verdadera o falsa y nada más. Algunos ejemplos de proposiciones son: “John Mayor es presidente”, “Hay vida extraterrestre”, etc., mientras que la declaración “¿Está oscuro afuera?” No es una proposición )

El operador de equivalencia ([math] \ equiv [/ math]) es un operador lógico binario que toma 2 proposiciones (P & Q) y crea una nueva (P [math] \ equiv [/ math] Q es en sí misma una nueva proposición eso es verdadero o falso). Obedece a la siguiente tabla de verdad:

(T significa verdadero y F significa falso)

Por lo tanto, P [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] Q significa esencialmente que las proposiciones P y Q son verdaderas en las mismas circunstancias. Se dice que son lógicamente equivalentes. Otra forma de escribir esto es diciendo “P si y solo si Q”.

Por ejemplo

(“Hay vida extraterrestre”) [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] (“Hay vida fuera de la tierra”)

(“[Matemáticas] x + y ^ 2 = 39 [/ matemáticas]”) [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] (“[matemáticas] y ^ 2 = 39-x [/ matemáticas]”)

El “significado” del signo de igualdad se define mediante un conjunto de axiomas. Digamos que [math] x, y, z [/ math] son ​​elementos del mismo conjunto. Los 3 axiomas del signo de igualdad son:

1. [matemáticas] x = x [/ matemáticas] (Axioma reflexivo)
2. [matemática] x = y \ equiv y = x [/ matemática] (Axioma de simetría)
3. Si [matemática] x = y [/ matemática] y [matemática] y = z [/ matemática], entonces [matemática] x = z [/ matemática] (Axioma transitivo)

El primer axioma a menudo se llama axioma de identidad y se traduce muy crudamente a “Si 2 cosas son” iguales a las de otro “(es decir, están relacionadas por el” signo igual “), entonces los 2 objetos son la misma cosa.

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Esta es una muy buena pregunta. Pero antes de hablar de relatividad, permítanme hacer la siguiente pregunta, ¿qué queremos decir exactamente cuando decimos que una partícula no está acelerando (o en otras palabras tiene aceleración cero)?

Ahora podría decir: “Bueno, eso es fácil, una partícula tiene aceleración cero si todos los componentes de la aceleración (es decir, [matemática] \ dfrac {d ^ {2} x_i} {dt ^ 2} [/ matemática]) son cero”.

Pues resulta que esta no es una respuesta muy útil. Recuerde aquí que estamos asumiendo que las [matemáticas] x_i [/ ​​matemáticas] son ​​las coordenadas cartesianas estándar que describen la trayectoria de la partícula. ¿Qué pasa si elegimos describir la trayectoria de la partícula con algunas otras coordenadas?

Recuerde que la trayectoria de una partícula a través del espacio es una realidad objetiva, mientras que los componentes de la trayectoria no lo son porque los componentes están determinados con respecto a algún sistema de coordenadas y un sistema de coordenadas es algo que elijo a voluntad.

Para hacer esto un poco más preciso, considere una partícula que está viviendo en un plano y está viajando en línea recta con velocidad uniforme. Las ecuaciones de movimiento para dicha partícula en coordenadas cartesianas toman la forma:

[matemáticas] x_1 (t) = en + b [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 (t) = ct + d [/ matemáticas]

(Aquí estoy usando [matemáticas] (x_1, x_2) [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas])

Ahora, en este ejemplo, puede verificar que efectivamente [matemáticas] \ dfrac {d ^ {2} x_i} {dt ^ 2} = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] i = 1,2 [/ matemáticas]

Entonces, en esta situación, es cierto que una partícula con aceleración cero tiene componentes cartesianos que son todos cero. Pero aquí hay una idea loca. ¿Qué sucede si elegimos describir la misma línea de trayectoria usando coordenadas polares? Bueno, la misma trayectoria en coordenadas polares es de la forma:

[matemáticas] y_1 (t) = \ sqrt {t ^ 2 (a ^ 2 + c ^ 2) + 2t (ab + cd) + (b ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] y_1 (t) = \ arctan (\ dfrac {ct + d} {at + b}) [/ matemáticas]

(aquí [matemática] (x_1, x_2) [/ matemática] en lugar de [matemática] (r, \ theta) [/ matemática]

Answer 2

¿Cuál es la diferencia entre [matemáticas] = [/ matemáticas] y [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] en matemáticas?

Mucho depende del contexto, pero en general:

• [math] = [/ math] se usa para la igualdad
• [math] \ equiv [/ math] se usa para equivalencia

¿Cuál es la diferencia entre igualdad y equivalencia, preguntas? ¡Buena pregunta!

Se puede pensar que cualquier lado de la igualdad se refiere a la misma cosa. Son simplemente representaciones diferentes de la misma entidad abstracta. Por ejemplo [matemáticas] 6 + 7 = 13 [/ matemáticas].

Se puede pensar que cualquier lado de una equivalencia se refiere a algo equivalente, si no exactamente lo mismo. Pertenecen a la misma clase de equivalencia. Por ejemplo, [matemática] 6 + 7 \ equiv4 \ mod 9 [/ matemática] porque [matemática] 13 [/ matemática] y [matemática] 4 [/ matemática] están en la misma clase de equivalencia módulo [matemática] 9 [/ matemática] .

Sin embargo, estas dos categorías no son completamente disjuntas, y los símbolos también se pueden usar en otros contextos. Un uso común del símbolo de equivalencia es para una definición, y también podría usarlo para decir que una igualdad es válida para todos los valores de las variables involucradas. Por lo tanto

[matemáticas] \ quad x \ otimes y \ equiv (x + 1) \ veces (y + 2) [/ matemáticas]

puede considerarse como una definición de [math] \ otimes [/ math] o como una igualdad para todos los valores posibles de [math] x, y [/ math]. ¡Pero es posible que vea lo mismo escrito con un signo igual!

Otra complicación surge si piensa en los números racionales, [math] \ mathbb Q [/ math], como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros. En ese caso, la mitad es “realmente” una clase de equivalencia de [matemáticas] (1,2) [/ matemáticas] donde [matemáticas] (1,2) \ equiv (3,6) [/ matemáticas] pero usted será muy pedante si insiste en que la gente escriba [matemáticas] \ frac12 \ equiv \ frac36 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ frac12 = \ frac36 [/ matemáticas]. Entonces, la diferencia puede ser muy sutil, lo que significa que esta pregunta es muy razonable.

Solo para agregar a la confusión, en mi cabeza normalmente pienso en [math] \ equiv [/ math] con tres líneas como “más fuerte” (lo que sea que eso signifique) que [math] = [/ math] con dos líneas, a pesar de lo que dije anteriormente acerca de que la igualdad es “la misma”, mientras que la equivalencia es solo “en la misma clase” 🙁

Answer 3

El símbolo = significa igual en valor

x ≡ y significa que x se define como otro nombre para y, bajo ciertos supuestos tomados en contexto.

(Pocos usan ≡ para significar congruencia).

Algebra Símbolos y Términos

Answer 4

Como han dicho otros, depende del contexto. Déjame agregar otro caso.

Si escribo x² – x = 12, esta es una ecuación . Es cierto para algunos números (-3 y 4) y no para otros.

Si escribo x² – x = x (x – 1) esta es una identidad . Es cierto para todos los números. El símbolo ≡ se usa a menudo para enfatizar esto. Así x² – x ≡ x (x-1)

Answer 5

El primero ‘=’ muestra que la cantidad en su lado izquierdo es igual a la del lado derecho.

El segundo ‘≡’ implica que la cantidad en su lado izquierdo es equivalente o idéntica a la cantidad en su lado derecho.

El signo igual denota que la igualdad se cumple solo para ese valor particular, mientras que el otro ‘≡’ implica que es cierto para todo valor, es decir, como una identidad. Pero en la mayoría de los casos se usa ‘=’. En derivaciones de Física y en programación nos encontramos con ≡ firmar más.

Answer 6

El primero denota igualdad o ecuación, el segundo se usa solo para la identidad.