¿Cómo se muestra que el punto [matemática] (- \ sqrt2, \ sqrt2) [/ matemática] está en la gráfica de la ecuación [matemática] x ^ {4} + xy ^ {3} = 0 [/ matemática]?

Answer 1

Verificando si [math] (- \ sqrt 2, \ sqrt 2) [/ math] está en el gráfico de [math] x ^ 4 + xy ^ 3 = 0 [/ math] solo requiere enchufar [math] x = – \ sqrt 2 [/ math], [math] y = \ sqrt 2 [/ math] y ver si obtienes una declaración verdadera.

[matemáticas] (- \ sqrt 2) ^ 4 + (- \ sqrt 2) (\ sqrt 2) ^ 3 = \ sqrt {2 ^ 4} – \ sqrt {2 ^ 4} = 0 \ \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

Eso funcionó, por lo que el punto está en el gráfico.

Encontrar la ecuación de una tangente a la función en un punto requiere encontrar la pendiente en ese punto. En general, la pendiente viene dada por [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math]. Tomemos la derivada con respecto a [math] x [/ math], implícitamente porque no tenemos [math] y [/ math] en función de [math] x [/ math].

[matemáticas] 4x ^ 3 + x \ cdot 3y ^ 2 \ dfrac {dy} {dx} + y ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3xy ^ 2 \ dfrac {dy} {dx} = -4x ^ 3 – y ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-4x ^ 3 – y ^ 3} {3xy ^ 2} [/ matemáticas]

En [matemáticas] x = – \ sqrt 2 [/ matemáticas], [matemáticas] y = \ sqrt 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-4 (- \ sqrt {2}) ^ 3 – (\ sqrt 2) ^ 3} {3 (- \ sqrt 2) (\ sqrt 2) ^ 2} = \ dfrac {4 \ sqrt 8 – \ sqrt 8} {- 3 \ sqrt 8} = -1 [/ matemáticas]

Entonces, ahora queremos el punto con pendiente [matemática] -1 [/ matemática] que pasa por [matemática] x = – \ sqrt 2 [/ matemática], [matemática] y = \ sqrt 2 [/ matemática]. En general, la línea con pendiente [matemática] m [/ matemática] a [matemática] (a, b) [/ matemática] es [matemática] yb = m (xa) [/ matemática] entonces

[matemáticas] y – \ sqrt 2 = -1 (x – – \ sqrt 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -x [/ matemáticas]

Curiosamente, cada punto en esa línea está en el gráfico de nuestra ecuación. Los puntos en [math] y = -x [/ math] parecen ser las únicas soluciones reales.

Answer 2

[matemáticas] x ^ 4 + xy ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] xy ^ 3 = -x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] y ^ 3 = -x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -x [/ matemáticas]

No necesitabas cálculo para esta pregunta en particular después de todo.

Answer 3

Sustituyamos [matemática] x = – \ sqrt {2} [/ matemática] en la ecuación

[matemáticas] (- \ sqrt {2}) ^ 4- \ sqrt {2} y ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4- \ sqrt {2} y ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 3 = \ dfrac {4} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 3 = 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Diferenciando ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], tenemos

[matemática] 4x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy ^ 2y ‘= 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica y ‘= – \ dfrac {4x ^ 3 + y ^ 3} {3xy ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ‘= – \ dfrac {-4 (2) \ sqrt {2} +2 \ sqrt {2}} {- 3 (2) \ sqrt {2}} = – 1 [/ matemáticas]

Ecuación de la recta tangente.

[matemáticas] L (x) = m (x-x_1) + y_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica L (x) = – (x + \ sqrt {2}) + \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica L (x) = – x [/ matemáticas]

Answer 4

Esto suena como un problema de tarea, por lo que no lo resolveré directamente por usted.

Para la primera pregunta, el gráfico de una ecuación es todos los conjuntos de puntos que satisfacen la ecuación, ¿verdad? Así que verifica si las coordenadas que tienes hacen que la ecuación sea verdadera.

Para la segunda parte, tiene un punto, y puede encontrar la pendiente mediante la diferenciación implícita de la ecuación, luego conectando sus coordenadas. A partir de ahí, es la forma punto-pendiente.

¡Buena suerte!

Answer 5

Uno confirmaría que el punto está en el gráfico conectando los puntos para confirmar que son verdaderos. No lo haré aquí, pero puedes probar que este punto está en juego. Ah sí, no debería, puedes simplificar esto a y = -x. La linealización debe ser L (x) = – x. Para demostrarlo [matemáticas] L (x) = f (a) + f ‘(a) * (xa) [/ matemáticas] dado [matemáticas] f (a) = – a [/ matemáticas] y [matemáticas] f’ (a) = -1 [/ math] podemos calcular para todos a [math] L (x) = -a + a -x = -x [/ math].

Answer 6

Tenga en cuenta que x es un factor común de ambos términos, por lo que la ecuación se puede escribir como
x (x ^ 3 + y ^ 3) = 0. Esto muestra que x = 0 es una solución y también lo es y ^ 3 = -x ^ 3, que es equivalente a y = -x (suponiendo que x e y son reales).
Entonces la ecuación no define una función, sino una relación. Consiste en todos los puntos (0, y) para todos los y (es decir, el eje y), así como la línea (x, -x) para todos los x.

Que el punto dado está en la línea, y el gradiente en ese punto ahora es obvio.

Answer 7

Ingrese los puntos para [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y. [/ Matemática]

Si el punto está en el gráfico, entonces la solución debería ser [matemática] 0 [/ matemática].

[matemáticas] (- \ sqrt {2}) ^ {4} + (- \ sqrt {2} \ sqrt {2} ^ {3}) = 0 [/ matemáticas]

Entonces el punto está en el gráfico

Answer 8

Simplemente trace las coordenadas (−2√, 2√) en la ecuación.

si da LHS = RHS, entonces el punto está en la gráfica.

Y para la ecuación de tangente (L) primero debe encontrar la derivada de la ecuación con respecto a x.

es decir, pendiente de la tangente = m = dy / dx =? , en el punto (−2√, 2√).

y usa esto para encontrar su ecuación:

(y – y *) = m (x – x *)

donde, (x *, y *) = (−2√, 2√)

Answer 9

Para mostrar que su punto existe en la función, simplemente conecte sus coordenadas y vea que la función proporciona una igualdad.

Para encontrar la línea tangente, puede tomar la derivada de su función con respecto a [math] x [/ math], luego conecte su punto para encontrar la pendiente de la tangente en [math] (- \ sqrt {2}, \ sqrt {2}) [/ math]. Ahora tiene la pendiente de L, y un punto en ella, y puede obtener una ecuación para su línea.