¿Cómo se usa la IVT para encontrar un entero n tal que haya una solución a la ecuación [matemáticas] (x \ ln (x)) – 1 = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Sea e = 2.718282 la base de los logaritmos naturales ln.
Entonces xln (x) = ln (x ^ x) = 1 = ln (e)
Tome antilogs de ambos lados y obtenga
x ^ x = e
Eleve ambos lados a 1 / x de potencia
x = e ^ (1 / x) esta es una fórmula de recursión, es decir, adivina x a la derecha,
y obtener un mejor valor para x a la izquierda. Repita esto hasta la convergencia.
Las iteraciones tienen el siguiente aspecto:
Primera aproximación >> 1.75
Primera mejora >> 1.770794952
2 1.758951903
3 1.765652618
4 1.761847232
5 1.76400378
6 1.762780178
7 1.763473965
8 1.763080433
9 1.763303604
10 1.763177029
11 1.763248814
12 1.763208101
13 1.763231191
14 1.763218095
15 1.763225522
Lo suficientemente bueno, usemos x = 1.763226
Entonces encontramos que e ^ (1 / x) = 1.000004
Obviamente, más iteraciones darán mejores respuestas.

Answer 2

Deje [math] f (x) = x \ ln x -1 [/ math]

En [matemáticas] x = 1, f (1) = – 1 (<0) [/ matemáticas]

En [matemáticas] x = 2, f (2) \ aproximadamente 0.386 (> 0) [/ matemáticas]

Según el teorema del valor intermedio, existe una raíz de la ecuación [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], y se puede encontrar mediante el método de bisección o cualquier otro método numérico para encontrar la raíz.

Answer 3

Bueno, la función en el LHS es -1, un valor negativo cuando x = 1.

Es 0.386, un valor positivo, cuando x = 2.

Como es continuo, en algún punto del intervalo [1,2] debe haber cruzado 0, por IVT. Por lo tanto, su solución se encuentra en ese intervalo.

Answer 4

Un truco rápido sin calculadora:

Sabes que e es un número entre 2 y 3, y sabes que xlnx = ln (x ^ x).

El problema se convierte en encontrar el valor de x donde x ^ x e.

El número 1 llega bastante rápido. 1 ^ 1 = 1 e.

Entonces, usando el intervalo [1,2], podemos decir xln (x) – 1 <0 cuando x = 1, y xln (x) - 1> 0 cuando x = 2, y f (x) es continua, entonces puede aplicar IVT para concluir que f tiene un cero en [1,2].

Answer 5

Entonces, ¿dónde es negativa esta función? Está en 1, donde ln (1) -1 <0. Luego, ¿dónde está el primer entero donde es positivo? Bien 2, 2 * ln (2) -1> 0. Entonces, hay una raíz en el intervalo [1,2], esto se puede confirmar mediante la representación gráfica.

Answer 6

Deje [math] x \ ln (x) – 1 = f (x) [/ math]. Puedes usar el valor intermedio del teorema para encontrar tu n encontrando un n tal que f (n) yf (n + 1) tengan signos opuestos. Luego, según el teorema del valor intermedio, debido a que tiene un intervalo con límites a cada lado yf es continuo, f debe tomar el valor 0 en algún punto del intervalo.

Espero que esto ayude. Avísame si todavía tienes problemas.