Si [matemática] x ^ 3 + ax ^ 2 – bx + 10 [/ matemática] es divisible por [matemática] x ^ 2 – 3x + 2 [/ matemática], ¿encuentra los valores de a y b?

Answer 1

Gracias por el A2A, mi primera respuesta del día.

[matemáticas] x ^ 2–3x + 2 = (x-1) (x-2) [/ matemáticas]

Deje [math] f (x) = x ^ 3 + ax ^ 2-bx + 10 [/ math]

Teorema restante: si una función arbitraria [matemática] f (x) [/ matemática] dividida por [matemática] (xa) [/ matemática] deja un resto [matemática] r [/ matemática], escribimos, [matemática] f ( a) = r [/ matemáticas]. Cuando [math] r = 0, x = a [/ math] es un cero del polinomio [math] f (x) [/ math]

[matemáticas] f (1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 + a-b + 10 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ab = -11 …… [i] [/ matemáticas]

[matemáticas] f (2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 8 + 4a-2b + 10 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2a-b = -9 …… [ii] [/ matemáticas]

[matemáticas] [ii] – [i] \ implica a = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = -11 \ implica b = a + 11 = 2 + 11 = 13 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {a = 2, b = 13} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] (a, b) \ equiv (2,13) ​​[/ matemáticas]

Considere [matemáticas] x ^ 2-3x + 2 [/ matemáticas].

Esto se puede factorizar como [matemáticas] (x-1) (x-2) [/ matemáticas].

Entonces, [math] x ^ 3 + ax ^ 2-bx + 10 [/ math] tiene que ser divisible por [math] (x-1) [/ math] y [math] (x-2) [/ math ]

Por división sintética, al dividir con [math] (x-1) [/ math], obtenemos el resto como [math] a-b + 11 [/ math].

Entonces, tenemos la primera ecuación: [matemáticas] a-b + 11 = 0 [/ matemáticas]

Y al dividir entre [matemáticas] (x-2) [/ matemáticas], obtenemos el resto como [matemáticas] 4a-2b + 18 [/ matemáticas].

Entonces, la segunda ecuación: [matemáticas] 2a-b + 9 = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [math] a + 11 = 2a + 9 \ Rightarrow a = 2 [/ math] y [math] b = 13 [/ math].

Answer 3

Primero, pregúntese, ¿qué significa que [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 – bx + 10 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] x ^ 2 – 3 x + 2? [/ Matemáticas]

Para números ordinarios, [matemática] a [/ matemática] es divisible por [matemática] b [/ matemática] iff: [matemática] \ frac {a} {b} = n [/ matemática], donde n es un número entero (y típicamente [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] también lo son).

Así que hagamos lo mismo con estas funciones. [Matemáticas] \ frac {x ^ 3 + ax ^ 2 – bx + 10} {x ^ 2 – 3 x + 2} = n [/ matemáticas]. Esto se puede reescribir a:

n ([matemáticas] x ^ 2 – 3 x + 2 [/ matemáticas]) = [matemáticas] x ^ 3 + hacha ^ 2 – bx + 10 [/ matemáticas]

Ahora, como puede ver, el lado izquierdo tiene 2 como el orden más alto de x, el lado derecho tiene 3. Eso implica que debe haber otra [matemática] x [/ matemática] ‘oculta’ en n. Entonces, simplemente escribamos: [matemáticas] n = (x – m) [/ matemáticas]. Luego puede calcular el producto para obtener:

[matemáticas] x ^ 3 – x ^ 2 (m + 3) + x (2–3m) + – 2m = x ^ 3 + ax ^ 2 – bx + 10 [/ matemáticas]

El último término le dirá lo que tiene que ser m, y los otros términos luego determinarán los valores de a y b

Answer 4

Answer 5

Haz una larga división ordinaria. El resultado es “x + (3 + a)” con el resto

“[3 (3 + a) – (b + 2)] x + [10–2 (3 + a)]”

Si el primer polinom es divisible por el segundo, el resto debería ser idénticamente cero, lo que significa que cada término debería ser igual a cero.

De esto obtienes de inmediato

10–2 (3 + a) = 0 ==> a = 2

Ponga este valor de a en el otro término

3 (3 + a) – (b + 2) = 0 ==> 3 (3 + 2) – (b + 2) = 0 ==> b = 13

Answer 6

Primer método: –

x ^ 3 + hacha ^ 2-bx + 10

= x (x ^ 2–3x + 2) + 3x ^ 2–2x + ax ^ 2-bx + 10

= x (x ^ 2–3x + 2) + (3 + a) x ^ 2- (2 + b) x + 10

= x (x ^ 2–3x + 2) +5 [(3 + a) /5.x^2- (2 + b) /5.x+2]

Si x ^ 3 + ax ^ 2-bx + 10 es divisible por x ^ 2–3x + 2 entonces

(3 + a) /5.x^2- (2 + b) /5.x+2=x^2–3x+2

igualando el coeff. de x ^ 2 yx.

(3 + a) / 5 = 1 o 3+ a = 5 => a = 2, respuesta

(2 + b) / 5 = 3 o 2 + b = 15 => b = 13, respuesta

Segundo método: –

Divisor = x ^ 2–3x + 2 = 0

(x- 2) (x – 1) = 0

x = 2, 1.

poner x = 2, resto = (2) ^ 3 + a (2) ^ 2 -b (2) + 10 = 0

8 + 4a-2b + 10 = 0 o 4a-2b = -18

2a-b = -9 ……………… .. (1)

poner x = 1, resto = 1 ^ 3 + a.1 ^ 2-b.1 + 10 = 0

1 + a-b + 10 = 0, o a – b = -11 …………… (2)

reste la ecuación (2) de (1)

a = 2, pon a = 2 en la ecuación. (2)

2-b = -11

2 + 11 = b

b = 13

a = 2, b = 13. Responder