Hice el caso general, general aquí. La respuesta de Dean Rubine a ¿Cómo puedo convertir esta [matemática] (a + bi) ^ {c + di} [/ matemática] en forma de número complejo estándar [matemática] a + bi [/ matemática]?
La mejor manera de hacer (la mayoría) de las potencias de un número complejo es primero escribir el número complejo en coordenadas polares. Un motivo favorito que tengo con trig es que casi todos los ejemplos son variantes de [matemáticas] 30 ^ \ circ [/ matemáticas] o [matemáticas] 45 ^ \ circ [/ matemáticas]. Este problema no es una excepción: un triángulo rectángulo [matemático] \ sqrt {3}, 1, 2 [/ matemático] es una especie de triángulo rectángulo de 30,60,90. Este está en el segundo cuadrante y la parte real es de mayor magnitud que la parte imaginaria, por lo que estamos hablando de un ángulo de [matemáticas] 180–30 = 150 ^ \ circ = \ frac {150} {360} 2 \ pi = \ frac {5} {12} 2 \ pi [/ matemáticas]. Podrías cancelar [math] 2 [/ math] de [math] 2 \ pi [/ math], pero me parece confuso. [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] es todo el círculo; una vez que aparece en su ecuación, siéntase libre de mantenerlo alrededor.
Deje [math] z = – \ sqrt {3} + i [/ math]. [matemáticas] | z | = \ sqrt {3 + 1} = 2 [/ matemáticas]. [matemática] \ angle z = \ textrm {atan2} (1 / – \ sqrt {3}) = \ frac {5} {12} 2 \ pi. [/ math]
Entonces [math] z = 2e ^ {i \ frac {5} {12} 2 \ pi}. [/ Math] Subir a la sexta potencia no tendrá múltiples valores, por lo que no nos preocupamos de multiplicar por [math ] e ^ {2 \ pi ki} [/ math], entero [math] k [/ math].
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[matemáticas] (- \ sqrt {3} + i) ^ 6 = (2e ^ {i \ frac {5} {12} 2 \ pi}) ^ 6 = 2 ^ 6 e ^ {i \ frac {5} { 2} 2 \ pi} = 2 ^ 6e ^ {4 \ pi i} e ^ {i \ pi} = -64 [/ matemáticas]
Los múltiplos de [math] 2 \ pi i [/ math] en el exponente, como un [math] 4 \ pi i [/ math] arriba, no cambian nada y pueden descartarse porque [math] e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas]. Por supuesto, [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] es la identidad de Euler.
El punto real de todo esto, oculto detrás de la notación ligeramente torpe, es que comenzamos con algo que tenía un ángulo de [matemática] 5/12 [/ matemática] de un círculo, y su sexto poder tiene un ángulo de [matemática] 6 \ veces 5/12 [/ matemáticas] de un círculo [matemáticas] = 30/12 = 24/12 + 6/12 = 1/2 [/ matemáticas] de un círculo. Tenemos que descartar el entero [matemáticas] 24/12 = 2 [/ matemáticas] círculos completos. Y todo lo que realmente significa Identidad de Euler es [matemática] 1/2 [/ matemática] un círculo, a la mitad del círculo de la unidad, es [matemática] -1 [/ matemática].