Cómo simplificar [matemáticas] e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} [/ matemáticas] a la forma [matemáticas] a + bi [/ matemáticas]

Answer 1

En realidad proviene de la fórmula de Euler :

[matemáticas] e ^ {ix} = cos x + i sen x [/ matemáticas]

La fórmula anterior se puede derivar fácilmente de la expansión de Taylor

Y él me puso en eso:

Y porque [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas], se simplifica a

Ahora, al mover los términos i al final se obtiene:

Si conoce la expansión de Taylor para [math] cosx [/ math] y [math] sinx [/ math], entonces la ecuación anterior es

[matemáticas] e ^ {ix} = cosx + i senx [/ matemáticas]

Hay múltiples interpretaciones geométricas de la expansión anterior.

La fórmula de Euler

Fórmula de Euler

Serie de Taylor

serie

Answer 2

De acuerdo con Euler,

[matemáticas] \ boxed {e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta} [/ math]

Entonces,

[matemáticas] e ^ {i \ dfrac {2 \ pi} {3}} = \ cos \ dfrac {2 \ pi} {3} + i \ sin \ dfrac {2 \ pi} {3} [/ matemáticas]

Al conectar los valores, tienes:

[matemáticas] \ boxed {e ^ {i \ dfrac {2 \ pi} {3}} = \ dfrac {-1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3} i} {2}} [/ math]

Answer 3

OK, una carrera rápida a través de un mínimo básico,

Para a + bi, sea tan x = b / a, r = √ (a ^ 2 + b ^ 2), x = arco tan (b / a) = 2π / 3 aquí

cos x = a / r, entonces a = r cos x,

sen x = b / r, entonces b = r sen x, entonces ib = ir sin x

a + ib = r (cos x + isin x).

Dibuje un círculo, en P (a, b) = P (rcos x, rsin x)

Cambio de coordenadas cartesianas a polares

El símbolo e es solo un número, donde e = 2.7181 …… ..

Ahora el exponencial (x) = e ^ x se puede expresar como una serie

e ^ x = x ^ 0/0! + x ^ 1/1! + x ^ 1/2! + x ^ 3/3! +. + x ^ n / n!

e ^ (ix) = (ix) ^ 0/0! + (ix) ^ 1/1! + (ix) ^ 2/2! + (ix) ^ 3/3! +. + (ix) ^ n / n!

e ^ (ix) = 1+ (ix) – x ^ 2/2! -ix ^ 3/3! + x ^ 4/4! +. “ + reales separados y términos imaginarios
(solo recuerde i ^ 2 = -1, i ^ 3 = -I, 1 ^ 4 = +1, i ^ 5 = i ahí es donde todos esos términos (-) y (+) aparecieron).

e ^ (ix) = (1-x ^ 2/2! + x ^ 4/4! -x ^ 6/6! +.) + I (xx ^ 3/3! + x ^ 5/5! -)

= cos x + I sen x

la serie de términos reales = cos x
la serie de términos imag = sen x

Así que pon todo junto

a + ib = r (cos x + isin x) = re ^ (ix) (necesita todo esto como mínimo)

Deje x = 2π / 3, y r = 1, entonces obtienes?

Answer 4

La fórmula de Euler establece que [matemáticas] e ^ {ix} = cosx + isinx. [/matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} = cos \ frac {2 \ pi} {3} + isin \ frac {2 \ pi} {3} = [/ matemáticas] [ matemáticas] – \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i. [/matemáticas]

Answer 5

Usa la clásica fórmula de Euler

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {\ frac {2 \ pi i} {3}} = \ cos \ left (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ cos \ left (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) = \ cos \ left (\ pi- \ dfrac {\ pi} {3} \ right) = – \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {3} \ right) = – \ dfrac {1} {2} [/ math]

[[math] \ cos \ theta [/ math] es negativo en el segundo cuadrante]

[matemáticas] \ sin \ left (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) = \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {3} \ right) = \ dfrac {\ sqrt {3}} { 2} [/ matemáticas]

[[matemáticas] \ sin \ theta [/ matemáticas] es positivo en el segundo cuadrante]

Entonces, [matemáticas] e ^ {\ frac {2 \ pi i} {3}} = – \ dfrac {1} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 6

Tenemos: [matemáticas] e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} [/ matemáticas]

Esta expresión se puede convertir en la forma [math] a + bi [/ math] usando la fórmula de Euler [math] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ math]:

[matemáticas] = \ cos \ big (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ big) + i \ sin \ big (\ dfrac {2 \ pi} {3} \ big) [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas]

Answer 7

Use la fórmula de Euler: [matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i * sin (\ theta) [/ math].

Esto dará: [matemáticas] e ^ {\ frac {2 \ pi} {3} i} = cos (\ frac {2 \ pi} {3}) + i * sin (\ frac {2 \ pi} {3 })[/matemáticas].

Simplificando obtenemos: [matemáticas] e ^ {\ frac {2 \ pi} {3} i} = \ frac {-1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/ matemáticas] .

Answer 8

Esto solo significa que hay toda una rama de las matemáticas que aún no has estudiado …

Todo basado en la siguiente identidad:

exp (ix) = cos (x) + i sin (x)

Es parte del álgebra compleja … Para su examen necesitará estudiar números complejos y su relación con la trigonometría.

Pero solo por esta pregunta. Aplique la identidad que escribí anteriormente y la respuesta es bastante obvia … Sin embargo, si realmente desea progresar, necesitará comprender por qué, por lo tanto, estudie el tema con mayor profundidad.