Comparando números algebraicos y números trascendentales, ¿tienen sus expansiones decimales diferentes propiedades?

Answer 1

Realmente no.

Aquí hay dos números. Adivina cuál es algebraico y cuál es trascendental de sus expansiones decimales:

[matemáticas] 3.2360679774997896964091736687313 \ ldots [/ matemáticas]

[matemáticas] 6.1161341140328517795606468105435 \ ldots [/ matemáticas]

El primero es [matemáticas] 1+ \ sqrt {5} [/ matemáticas], que es algebraico, siendo una de las raíces del polinomio [matemáticas] x ^ 2 + 2x-4 [/ matemáticas] (por ejemplo). El segundo es [matemáticas] \ frac {9} {4} e [/ matemáticas], que es trascendental, siendo el producto de un número algebraico y un número trascendental.

Por cierto, las personas a menudo olvidan que los números complejos también se pueden clasificar como algebraicos o trascendentales. Por ejemplo, [math] 1 + i [/ math] es algebraico (¿qué polinomio monic con coeficientes enteros satisface?), Mientras que [math] \ pi i [/ math] es trascendental (¿por qué?)

Answer 2

Lo dudo e ilustraré por qué pienso eso.

Piense en un número de dígitos decimales que desea comparar y llámelo n.

Tengo tres números, llamémoslos a, ty r.

¡Los tres comparten los mismos primeros n dígitos pero a es algebraico, t es trascendental yr es racional!

Tome un número aleatorio de n dígitos r con [matemáticas] 0 \ lt r \ lt 1 [/ matemáticas]

luego poner

[matemáticas] a = r + .1 \ veces \ sqrt (2) * 10 ^ {- n} y [/ matemáticas]

[matemáticas] t = r + .1 \ veces e \ veces 10 ^ {- n} [/ matemáticas]

Estos números difieren de su consideración, pero son racionales, algebraicos y trascendentales respectivamente.