¿Cuál es el número entero ‘n’ para el cual el valor del siguiente límite es un número finito distinto de cero?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ left (\ cos x-1 \ right) \ left (\ cos xe ^ {x} \ right)} {x ^ {n}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ left (-2 \ sin ^ {2} \ frac {x} {2} \ right) \ left \ {\ left (1- \ frac {x ^ {2}} {2!} + \ frac {x ^ {4}} {4!} -… \ right) – \ left (1 + x + \ frac {x ^ {2}} {2! } + \ frac {x ^ {3}} {3!} +… \ right) \ right \}} {x ^ {n}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ left (-2 \ sin ^ {2} \ frac {x} {2} \ right) \ left (-x- \ frac {2x ^ {2}} {2!} – \ frac {x ^ {3}} {3!} -… \ right)} {4 \ left (\ frac {x} {2} \ right) ^ {2} x ^ {n-2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {2x \ sin ^ {2} \ frac {x} {2} \ left (1 + x + \ frac {x ^ {2}} {3 !} +… \ Right)} {4 \ left (\ frac {x} {2} \ right) ^ {2} x ^ {n-2}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin ^ {2} \ frac {x} {2} \ left (1 + x + \ frac {x ^ {2}} {3! } +… \ Right)} {2 \ left (\ frac {x} {2} \ right) ^ {2} x ^ {n-3}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {1} {2} \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ left (1 + x + \ frac {x ^ {2}} {3!} +… \ right) } {x ^ {n-3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ porque \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 \ right \} [/ math]

El límite es finito iff [matemáticas] \ displaystyle \ space n-3 = 0 \ Rightarrow n = 3 [/ matemáticas]

Shukriya 🙂

Answer 2

Utilice la serie Taylor:

[matemáticas] \ displaystyle 1- \ cos {x} = \ frac {x ^ 2} {2} + O (x ^ 4) \ implica e ^ x- \ cos {x} = x + O (x ^ 2) [/matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {(\ cos {x} -1) (\ cos {x} -e ^ {x})} {x ^ {n}} = \ lim_ { x \ a 0} – \ frac {\ frac {x ^ 3} {2}} {x ^ n} [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas].