¿Por qué esta función [matemática] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y} {x} + x \, \ sin \ left (\ frac {y} {x} \ right) [/ math] se considera un uno homogéneo?

Answer 1

Una ecuación diferencial homogénea (DE) es una DE que se puede escribir en la forma

[math] \ dfrac {dy} {dx} = F \ left (\ dfrac {y} {x} \ right). [/ math]

Tal DE se resuelve sustituyendo [math] y = vx [/ math] por alguna función [math] v [/ math] de [math] x [/ math]. Como [math] \ dfrac {dy} {dx} = v + x \ dfrac {dv} {dx} [/ math], obtenemos

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = F (v) [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ dfrac {dv} {dx} = F (v) – v [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {F (v) -v} \, dv = \ int \ frac {1} {x} \, dx. [/ math]

Su ecuación diferencial, estrictamente hablando, no es una DE homogénea, ya que no puede escribirse en la forma [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = F \ left (\ dfrac {y} {x} \ right) [/ matemáticas]. Sin embargo, el método anterior todavía funciona, ya que obtenemos

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = v + x \ sin v [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dv} {dx} = \ sin v [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ csc v \, dv = \ int 1 \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | \ tan \ frac {v} {2} | = x + K [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | \ tan \ frac {y} {2x} | = x + K [/ matemáticas]

[matemáticas] | \ tan \ frac {y} {2x} | = Ae ^ x, [/ math] donde [math] A = e ^ K. [/ Math]

Answer 2

Antes de abordar su pregunta principal, primero quiero ver el significado de la función homogénea f (x, y).
Se dice que una función f (x, y) es una función homogénea de grado n en x e y si se puede expresar como
f (x, y) = x ^ ng (y / x) o y ^ nh (x / y).
Ecuación diferencial
dy / dx = M (x, y) / N (x, y) se llama diff homogéneo. equ de primer orden si M (x, y) y N (x, y) son funciones homogéneas del mismo grado en x e y.
dy / dx = (x ^ nf (y / x)) / (x ^ ng (y / x))
= f (y / x) / g (y / x)
= F (y / x).
Ahora ven a tu ecuación …
dy / dx = y / x + xsin (y / x)
Usted ve que y / x + xsin (y / x) no puede tratarse como una función de y / x. Por lo tanto, la ecuación dada no es homogénea.
Espero que entiendas tu punto …

Answer 3

Para encontrar la respuesta, debemos saber qué es una ecuación homogénea.

Si una ecuación de primer grado de primer orden se puede representar como [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {f (x, y)} {g (x, y)} [/ matemáticas] entonces se llama homogénea ecuación.

Para obtener el resultado de la ecuación dada anteriormente, puede considerar [math] \ frac {y} {x} = v \ Rightarrow \ frac {dy} {dx} = v + x \ frac {dv} {dx} [/ math ]

Si se necesita más aclaración, ¡no dude en preguntar!

Gracias !