Si [matemática] \ cot (A + B) = 8 [/ matemática] y [matemática] \ cot (AB) = 4 [/ matemática], entonces, ¿a qué equivale [matemática] \ cot ^ 2B [/ matemática]?

Answer 1

Tenga en cuenta que [math] \ cot [/ math] es el recíproco de [math] \ tan [/ math] y tenemos algunas fórmulas elegantes con respecto a [math] \ tan [/ math] s como

[matemáticas] \ tan (x + y) = \ dfrac {\ tan x + \ tan y} {1 – \ tan x \ tan y} [/ matemáticas]

Sea [matemáticas] x = B + A, y = B – A [/ matemáticas]. Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] \ tan 2B = \ tan \ left [(B + A) + (B – A) \ right] = \ tan (x + y) = \ dfrac {\ dfrac {1} {8} – \ dfrac { 1} {4}} {1 + \ dfrac {1} {8} \ times \ dfrac {1} {4}} = – \ dfrac {1} {8} \ times \ dfrac {32} {33} = – \ dfrac {4} {33} [/ matemáticas]

Alternativamente, dejemos [math] x = y = B [/ math] y tenemos

[matemáticas] \ tan 2B = \ dfrac {2 \ tan B} {1 – \ tan ^ 2 B} [/ matemáticas]

Ahora combinando las dos conclusiones anteriores con [math] u = \ tan B [/ math], obtenemos

[matemáticas] – \ dfrac {4} {33} = \ dfrac {2u} {1 – u ^ 2} \\ \ Rightarrow u ^ 2 – \ dfrac {33} {2} u – 1 = 0 (u \ not = \ pm 1) \\ u = \ dfrac {33 \ pm \ sqrt {1105}} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \ cot B = \ dfrac {1} {u} = \ dfrac {4} {33 \ pm \ sqrt {1105}} = \ dfrac {-33 \ pm \ sqrt {1105}} {4} [/ matemáticas]

Y entonces

[matemáticas] \ cot ^ 2 B = \ dfrac {1097 \ mp 33 \ sqrt {1105}} {8} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemática] \ cot (A + B) = 8 \ implica \ cot ^ {- 1} (8) = A + B [/ matemática]

[matemáticas] \ cot (A – B) = 4 \ implica \ cot ^ {- 1} (4) = A – B [/ matemáticas]

Resta la segunda ecuación de la primera para obtener:

[matemáticas] B = \ frac {1} {2} (\ cot ^ {- 1} (8) – \ cot ^ {- 1} (4)) [/ matemáticas]

Y entonces

[matemáticas] \ cot ^ 2 (B) = \ cot ^ 2 (\ frac {1} {2} (\ cot ^ {- 1} (8) – \ cot ^ {- 1} (4))) [/ matemáticas]

El resultado de la derecha se puede conectar a una calculadora para obtener una respuesta numérica, o simplemente puede usarlo más simplemente usando las reglas para [math] \ cot (a + b) [/ math] y [math] \ cot ( 2 x) [/ matemáticas], etc. Es una buena práctica hacerlo usted mismo.

Answer 3

Como han señalado otras respuestas, hay algunas identidades prácticas [math] \ cot [/ math] y [math] \ tan [/ math] que son aplicables aquí. Sin embargo, para aquellos de nosotros que no tenemos esas herramientas memorizadas, aquí hay una solución que usa solo fórmulas de suma de ángulos seno y coseno.

Comenzando con la primera ecuación y reescribiendo en términos de senos y cosenos,

[matemáticas] \ cot {(a + b)} = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ cos {(a + b)}} {\ sin {(a + b)}} = 8 [/ matemáticas]

Usando identidades de suma de ángulos,

[matemáticas] \ frac {\ cos {a} \ cos {b} – \ sin {a} \ sin {b}} {\ sin {a} \ cos {b} + \ cos {a} \ sin {b} } = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {a} \ cos {b} – \ sin {a} \ sin {b} = 8 \ sin {a} \ cos {b} +8 \ cos {a} \ sin {b} [/ matemáticas]

Para aislar los términos [math] a [/ math] y [math] b [/ math], agrupamos los términos de la siguiente manera:

[matemáticas] \ cos {a} \ cos {b} -8 \ cos {a} \ sin {b} = 8 \ sin {a} \ cos {b} – \ sin {a} \ sin {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {a} (\ cos {b} -8sin {b}) = \ sin {a} (\ sin {b} +8 \ cos {b}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ cos {a}} {\ sin {a}} = \ frac {\ sin {b} +8 \ cos {b}} {\ cos {b} -8 \ sin {b}} [/matemáticas]

Ahora hemos aislado con éxito [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Recuerde esta ecuación: volveremos a ella más tarde. Ahora, pasando a la segunda ecuación, nos dieron:

[matemáticas] \ cot {(ab)} = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ cos {(ab)}} {\ sin {(ab)}} = 4 [/ matemáticas]

Nuevamente usando identidades de suma de ángulos,

[matemáticas] \ frac {\ cos {a} \ cos {b} + \ sin {a} \ sin {b}} {\ sin {a} \ cos {b} – \ cos {a} \ sin {b} } = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {a} \ cos {b} + \ sin {a} \ sin {b} = 4 \ sin {a} cos {b} -4 \ cos {a} \ sin {b} [/ matemáticas ]

Luego agrupamos los términos … otra vez …

[matemáticas] \ cos {a} (cos {b} +4 \ sin {b}) = \ sin {a} (4 \ cos {b} – \ sin {b}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ cos {a}} {\ sin {a}} = \ frac {cos {b} +4 \ sin {b}} {4 \ cos {b} – \ sin {b}} [ /matemáticas]

Tenga en cuenta que ahora tenemos dos expresiones para [math] \ frac {\ cos {a}} {\ sin {a}} [/ math], por lo que podemos equipararlas:

[matemáticas] \ frac {\ sin {b} +8 \ cos {b}} {\ cos {b} -8 \ sin {b}} = \ frac {cos {b} +4 \ sin {b}} { 4 \ cos {b} – \ sin {b}} [/ matemáticas]

Rendimientos cruzados

[matemáticas] 4 \ sin ^ {2} {b} +33 \ sin {b} \ cos {b} +8 \ cos ^ {2} {b} = 4 \ cos ^ {2} {b} -33 \ sin {b} \ cos {b} +8 \ sin ^ {2} {b} [/ math]

Reorganizando los términos, obtenemos

[matemáticas] 4 \ cos ^ {2} {b} +66 \ cos {b} \ sin {b} -4 \ sin ^ {2} {b} = 0 [/ matemáticas]

Un pequeño truco cuando se trata con cuadráticos como este es dividir por el cuadrado de una de las variables, lo que te deja con un cuadrático en términos de la relación de las variables. Aplicamos este truco aquí; en este caso, dividimos por [matemáticas] \ sin ^ {2} {b} [/ matemáticas]:

[matemáticas] 4 {\ frac {\ cos {b}} {\ sin {b}}} ^ {2} +66 \ frac {\ cos {b}} {\ sin {b}} – 4 = 0 [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] \ frac {\ cos {b}} {\ sin {b}} [/ math] con [math] \ cot {b} [/ math] hojas

[matemáticas] 4 \ cot ^ {2} {b} +66 \ cot {b} -4 = 0 [/ matemáticas]

Resolviendo la cuadrática, obtenemos

[matemáticas] \ cot {b} = \ frac {-33 \ pm \ sqrt {1105}} {4} [/ matemáticas]

El cuadrado produce [math] \ cot ^ {2} {b} = \ frac {1097 \ pm 33 \ sqrt {1105}} {8} [/ math]

y hemos terminado!

Answer 4

Simplemente me topé con la pregunta, parecía interesante y no pude resistir intentarlo.

Déjame buscar [matemáticas] \ tan ^ 2 B [/ matemáticas] por primera vez

[matemáticas] \ tan 2B = \ tan \ {(A + B) – (AB) \} = \ dfrac {\ tan (A + B) – \ tan (AB)} {1+ \ tan (A + B) \ tan (AB)} = \ dfrac {\ frac {1} {8} – \ frac {1} {4}} {1+ \ frac {1} {32}} = – \ dfrac {4} {33} [/matemáticas]

También [math] \ tan 2B = \ dfrac {2 \ tan B} {1- \ tan ^ 2 B} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ tan B} {1- \ tan ^ 2 B} = – \ dfrac {2} {33} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ tan ^ 2 B-33 \ tan B-2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ tan B = \ dfrac {33 \ pm \ sqrt {1105}} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cot B = \ dfrac {4} {33 \ pm \ sqrt {1105}} [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ cot B = \ dfrac {4} {33+ \ sqrt {1105}} = \ dfrac {1} {4} (33- \ sqrt {1105}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cot B = \ dfrac {4} {33- \ sqrt {1105}} = \ dfrac {1} {4} (33+ \ sqrt {1105}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ cot B = \ dfrac {1} {4} (33 \ mp \ sqrt {1105}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cot ^ 2 B = \ dfrac {1097 \ mp 33 \ sqrt {1105}} {8} [/ matemáticas]

Answer 5

COT (XY) = (1+ COT (X) * COT (Y)) / (COT (Y) -COT (X))

LET X = A + B, Y = AB,

COT (2B) = -33/4 = (1- COT ^ 2 (B)) / (2 * COT (B))

DEJAR Y = COT (B), OBTENES una ecuación cuadrática:

4 -4 * Y ^ 2 = -66 * Y

Resuélvelo por Y, obtienes COT (B).

Hay dos respuestas posibles.