Cómo encontrar el número de raíces de la ecuación [matemáticas] 3 ^ x + 4 ^ x + 5 ^ x = 6 ^ x [/ matemáticas]

Answer 1

Para encontrar el número de raíces de cualquier ecuación que implique funciones exponenciales, trigonométricas o logarítmicas, o en general, cualquier cosa además de ecuaciones cuadráticas (a menos que sea un experto en ecuaciones complejas), la gráfica es el camino a seguir. Además, un poco de sentido común ayudará mucho.

Esta es la gráfica de [matemáticas] a ^ x [/ matemáticas] cuando [matemáticas] a> 1. [/ Matemáticas]

Entonces, con esto obtienes las gráficas de [matemáticas] 3 ^ x, 4 ^ x, 5 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 ^ x. [/ Matemáticas]

Ahora con un poco de sentido común, puede ver que el LHS siempre será mayor que el RHS cuando [math] x [/ math] es negativo. La única pregunta es cuándo [math] x [/ math] es positivo. Si traza las gráficas, verá que la gráfica de [matemáticas] 6 ^ x [/ matemáticas] es inicialmente menor que la de [matemáticas] 3 ^ x + 4 ^ x + 5 ^ x [/ matemáticas] pero comienza creciente. Por lo tanto, solo puede haber un punto de intersección, y con prueba y error, puede ver que está en [math] x = 3. [/ Math]

Los gráficos son los siguientes, el rojo es [matemático] 3 ^ x + 4 ^ x + 5 ^ x [/ matemático] y el azul es [matemático] 6 ^ x. [/ Matemático]

Espero que esto ayude. Estaré encantado de aclarar cualquier duda.

Answer 2

No pude proporcionarle una solución exacta, pero traté de explicarlo con mi conocimiento.

Divide la expresión con 3 ^ x.

1 + (4/3) ^ x + (5/3) ^ x = 2 ^ x.

La parte del lado izquierdo siempre es mayor que 1 para todas las ‘x’ .

La parte del lado derecho es menor que ‘1’ para x <0.

Ahora, si existen soluciones, entonces debería ser positivo.

Y las funciones exponenciales están aumentando monotónicamente.

1. Desde aquí puedes hacer una cosa.
2. Escriba f (x) = {1 + (4/3) ^ x + (5/3) ^ x – 2 ^ x}
3. Método de prueba y error. Sigue sustituyendo valores de x = 1, 2, 3, …
4. Obtendrá 3 como solución. Como todos los términos son funciones que aumentan monotónicamente, no esperará que disminuyan.
5. Entonces, la función f (x), inicialmente es positiva para x = 0, se convirtió en 0 en x = 3, y seguirá siendo -ve para x> 3. Entonces solo una raíz.

Algunos puntos más que pueden ayudar a comprender.

El crecimiento de a ^ x depende del valor de a. El crecimiento está representado por la pendiente – f ‘(x) = (a ^ x) log (a).

Entonces, para un valor particular de ‘x’, más el valor de ‘a’. Más la pendiente y el crecimiento será mayor.

Si aplicamos la misma lógica, 2 ^ x crece más rápido que (5/3) ^ x y (4/3) ^ x. Pero aquí la suma de los dos últimos implica en este caso.

Espero que lo entiendas. Pregunta si tienes alguna duda.

Answer 3

Tenga en cuenta que [math] 6 ^ x \ neq 0 [/ math] para cualquier x real. Por lo tanto, podemos dividir la ecuación y volver a escribirla como:
[matemáticas] \ frac {3} {6} ^ x + \ frac {4} {6} ^ x + \ frac {5} {6} ^ x = 1 [/ matemáticas]
El LHS es una función monótonamente decreciente en números reales, ya que es la suma puntual de tres funciones decrecientes. Por lo tanto, concluimos que hay exactamente un valor real que satisface la ecuación anterior.
Además observamos:
[matemáticas] 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 = 6 ^ 3 [/ matemáticas]
Por lo tanto, concluimos que la única solución real para la ecuación dada es x = 3.