Si los números reales generalmente se colocan en el eje [matemático] x [/ matemático] y los números imaginarios se colocan en el eje [matemático] y [/ matemático], ¿qué se colocaría en el eje [matemático] z [/ matemático] -¿eje?

Answer 1

Esta es una pregunta interesante, pero lamentablemente no hay una buena respuesta. Lo explicaré.

Los números reales son unidimensionales, y los números complejos, como usted señala, son bidimensionales. ¿Podemos poner un sistema numérico en un espacio tridimensional?

Hay cosas que puede llamar sistemas de números que contienen los reales y los números complejos: los cuaterniones son de cuatro dimensiones y los octoniones son (¡lo ha adivinado!) De ocho dimensiones. [[Son interesantes y deberías leer sobre ellos.]] Estas son “álgebras de composición” sobre los reales. El problema para usted es que existe un teorema de estructura para álgebras de composición: esto significa que cualquier álgebra de composición debe tener un cierto tipo de estructura, y el teorema dice que solo pueden ser de 1, 2, 4 u 8 dimensiones; no puede haber un álgebra de composición tridimensional.

No es que no puedas poner una estructura numérica en un espacio tridimensional; simplemente podría agregar y multiplicar las coordenadas de los vectores de la manera más obvia, pero esto no incluiría los números complejos porque si cuadra el punto (0,1,0) de esta manera obtendría (0,1,0 ) de nuevo, mientras que si tuviera los números complejos en las direcciones x e y desearía que (0,1,0) sea i y tenga (-1,0,0) como su cuadrado.

Answer 2

Los números reales se pueden representar por puntos en el eje x.

Los números imaginarios se pueden representar por puntos en el eje y.

Como resultado, los números complejos se pueden representar por puntos en el plano xy.

Un par de cosas a anotar:

• Una representación (un mapeo de un dominio a otro que conserva propiedades como la suma y la multiplicación) no garantiza un mapeo inverso
• Ciertas propiedades de los números imaginarios (como la equivalencia esencial de [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] -i [/ matemáticas]) no se conservan en esta representación. Es decir, la conjugación compleja no es una propiedad inherente de [math] \ mathbb R \ times \ mathbb R [/ math] o [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math]

Esto significa que no puede extender [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] a [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math] (es decir, agregar un eje z) y esperar encontrar un mapeo inverso significativo a un “número” automáticamente.

No es algo malo intentar hacer. Sin embargo, resulta que realmente no puedes hacerlo en tres dimensiones. Los siguientes “números” significativos se presentan en cuatro dimensiones y se denominan Cuaterniones, donde tiene tres raíces cuadradas distintas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], a saber, [matemáticas] i, j, k [/ matemáticas]. Sin embargo, pierde la conmutatividad, una de las propiedades fundamentales de la multiplicación, porque [matemáticas] ij = k \ neq ji = -k [/ matemáticas].

Por lo tanto, no hay mapeo natural en el eje z a menos que también agregue un eje w. Luego, debe imaginarse un espacio de cuatro dimensiones en el que tendemos a volver a las propiedades algebraicas y numéricas en lugar de confiar en nuestra intuición espacial. Esa intuición espacial puede ser útil para imaginar las propiedades de la aritmética compleja como, por ejemplo, rotaciones en el plano, pero no se deje llevar pensando que los números complejos son realmente puntos en el plano.

Aquí hay una vista en 4-D de cómo funcionan los Quaternions si su imaginación está a la altura:

(Fuente: Archivo: Quaternion2.png)

Answer 3

No hay convención para esto.

Los números complejos, por ejemplo, c, generalmente se escriben como c = x + iy, por lo que es natural usar el eje x para la parte real y el eje y para la componente imaginaria. He usado c con preferencia a la z más normal porque ya has usado z en tu pregunta para otra cosa.

Ahora supongamos que tenemos una función F (c) que podría ser, por ejemplo,

[matemáticas] F (c) = c ^ 2 -9 [/ matemáticas]

Entonces sería natural usar el eje z para trazar [matemáticas] F (c) = F (x + iy) [/ matemáticas]

Para situaciones más complejas, graficamos las partes real e imaginaria por separado. Por ejemplo, sin (z) donde ahora z = x + iy sería domo en Mathematica de la siguiente manera:

Re (sin (z))

Im (pecado (z))

ver gráficos en 3D sobre el plano complejo

Answer 4

Cuando vi esta pregunta, me di cuenta de que el interrogador estaba luchando con una idea errónea sobre la relación de los números complejos con el plano 2D. Sin embargo, la idea de intensificar una dimensión es bastante natural. Entonces me pregunté si podría abstraer el problema de tal manera que pudiera haber un análogo 3D. Desafortunadamente, fallé en eso. Sin embargo, hay una forma que admite una generalización a 4D: cuaterniones o [math] \ mathbb {H} [/ math]

[math] \ mathbb {R} [/ math] puede asociarse con el espacio ‘vector’ 1D [math] \ mathbb {R} ^ 1 [/ math], donde {[math] 1 [/ math]} forma un base. [math] \ mathbb {C} [/ math] puede asociarse con el espacio vectorial 2D [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], donde {[math] 1, i [/ math]} forma un base y asociamos [matemática] 1 [/ matemática] con el eje [matemática] x [/ matemática] y [matemática] i [/ matemática] con el eje [matemática] y [/ matemática]. [math] \ mathbb {H} [/ math] puede asociarse con el espacio vectorial 4D [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], donde {[math] 1, i, j, k [/ math ]} forman una base y esos 4 vectores de base pueden asociarse con los 4 ejes del espacio 4.

Answer 5

Nada ni lo que quieras. En realidad, la idea de representar un número complejo en un plano de 2 dimensiones es porque [math] \ mathbb {C} [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] por lo tanto, uno puede usar de manera equivalente un elemento de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] (es decir, un vector de 2 dimensiones) para representar un elemento de [math] \ mathbb {C} [/ math] (un escalar).

Entonces, dado que no tenemos ninguna razón con el complejo para agregar una tercera dimensión, no es necesario un eje z.

Answer 6

Comúnmente, las funciones multivariadas asignan un punto en RxR a un punto en R. Esto produce un punto en RxRxR. En el caso de funciones complejas, asignan un punto en el plano complejo a otro punto en el plano complejo. Entonces está mapeando un punto de C a C. Esto produce un punto en CxC. Necesitarías cuatro dimensiones para esto. La mayoría de los libros de texto usan la convención de que estás asignando un punto z = x + iy a un punto w = u + iv. Aquí u y v son en realidad funciones de números reales que se pueden caracterizar en 3 dimensiones de la manera que estás sugiriendo.

Answer 7

Complejo Z = a + bi y el número real de (a, b) puede y coordinar el plano al establecer una correspondencia uno a uno, por lo que con toda la compleja relación uno a uno establecida entre planos de coordenadas se llama plano complejo, Los puntos transversales del plano complejo corresponden a todos los números reales, de modo que el eje real, el punto en el eje vertical (excepto el origen) correspondiente a todos los imaginarios puros, se llama eje imaginario.