Si [math] \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b} = \ sqrt {a \ times b} [/ math]. Entonces no [matemáticas] i ^ 3 = \ sqrt {-1 \ veces -1 \ veces -1} = i [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] i ^ 3 \ ne i [/ matemáticas] Entonces, ¿qué está pasando aquí?

Answer 1

El problema es que [math] \ sqrt {a} [/ math] está definido hasta el signo. Y, si entiendo tu notación, tienes correctamente [matemáticas] I ^ 3 = \ pm i [/ matemáticas], lo que no significa necesariamente [matemáticas] I ^ 3 = i [/ matemáticas].

De hecho, [matemática] I = -i [/ matemática] y [matemática] i [/ matemática] son ​​dos candidatos distintos para [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática], es decir [matemática] I ^ 2 = i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Tenemos, [matemáticas] I ^ 3 = I ^ 2 I = (-1) (- i) = i [/ matemáticas], pero aún [matemáticas] I \ neq i [/ matemáticas].

La formulación exacta del producto de la raíz cuadrada es [matemáticas] | \ sqrt {a} | | \ sqrt {b} | = | \ sqrt {ab} | [/ math]. Para un número real, puede eliminar el signo de valor absoluto, porque por convención la raíz cuadrada de un número es el candidato positivo. Pero para el número complejo no se puede, porque no existe la noción de número complejo “positivo”.

Por esa razón, es mejor evitar sistemáticamente el símbolo de raíz cuadrada cuando se computa en el campo complejo, y siempre usar [matemáticas] y ^ 2 = x [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] x = \ sqrt {y} [/ matemáticas] .

En particular, nunca escriba [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] sino [math] i ^ 2 = -1 [/ math]. Porque también tiene [math] -i = \ sqrt {-1} [/ math] con [math] -i \ neq i [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] (- i) ^ 2 = i`2 = -1 [/ matemáticas] es perfectamente correcto.

Answer 2

Simplemente no es cierto que para [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], [matemática] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ matemática] real.

El signo radical o raíz cuadrada [math] \ sqrt {\ \} [/ math] se refiere a la raíz cuadrada principal. Esto significa la raíz cuadrada positiva, si el argumento es un número real positivo. Si el argumento es un número real negativo, esto significa la raíz cuadrada positiva (de la negación) multiplicada por [math] i [/ math]. (Hay una definición para la raíz cuadrada principal de un número complejo general, pero su uso no está tan extendido y podemos omitirlo aquí).

Las reglas para manipular las raíces cuadradas principales son simples, y si las respetas, nunca te equivocarás. Solo hay dos: (1) solo extrae factores positivos de una raíz cuadrada y (2) [matemáticas] i = \ sqrt {-1}. [/ Matemáticas] Veamos cómo funciona.

Primero que nada [math] \ sqrt {4} = \ sqrt {4 \ cdot 1} = \ sqrt {4} \ sqrt {1} = 2 \ cdot 1 = 2. [/ Math]

Nunca haga esto: [matemáticas] \ sqrt {4} = \ sqrt {-4 \ cdot -1} \ overset {\ textrm {WRONG!}} {=} \ Sqrt {-4} \ sqrt {-1} = 2i \ cdot i = -2. [/ math] No puede extraer números negativos de las raíces cuadradas.

En general, solo si al menos uno de [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] no es negativo, [matemática] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/matemáticas]. Esta es la regla en acción: puede extraer un factor positivo de debajo del radical, dejando el otro factor, negativo o positivo, dentro. Solo verifiquemos esto enumerando algunos casos.

[matemáticas] \ sqrt {1 \ cdot 1} = \ sqrt {1} \ sqrt {1} = 1 \ cdot 1 = 1 \ \ \ \ checkmark [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} \ sqrt {-1} = 1 i = i \ \ \ \ marca de verificación [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {-1 \ cdot 1} = \ sqrt {-1} \ sqrt {1} = i \ cdot 1 = i \ \ \ \ checkmark \ \ \ \ \ [/ math] [Piense en esto como sacando el +1, dejando el -1 bajo el radical original.]

[matemáticas] \ sqrt {-1 \ cdot -1} \ overset {\ textrm {WRONG!}} {=} \ sqrt {-1} \ sqrt {-1} = i \ cdot i = -1 \ \ \ [ / matemáticas] [mal]

En su ejemplo, sacó un número negativo de la raíz cuadrada y obtuvo la respuesta incorrecta. Eso es lo que sucede. Solo puede usar la regla (2) aquí.

[matemáticas] \ sqrt {-1 \ cdot -1 \ cdot -1} = \ sqrt {-1} = i [/ matemáticas]

Cuando resuelve ecuaciones con raíces cuadradas al cuadrar ambos lados, puede introducir soluciones extrañas (no). Entonces, si desea resolver [matemáticas] \ sqrt {x} = k [/ matemáticas], puede escribir [matemáticas] x = k ^ 2 [/ matemáticas]. También podría haber escrito [math] x = (- k) ^ 2 [/ math], pero eso no hace que [math] \ sqrt {x} = – k [/ math]. En general, siempre debe verificar su trabajo; cuando tiene ecuaciones al cuadrado, es muy importante verificarlo para eliminar las soluciones extrañas (no).

Answer 3

Si [math] \ sqrt {a} \ times \ sqrt {b} = \ sqrt {a \ times b} [/ math]. Entonces no [matemáticas] i ^ 3 = \ sqrt {-1 \ veces -1 \ veces -1} = i [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] i ^ 3 \ ne i [/ matemáticas] Entonces, ¿qué está pasando aquí?

Mi respuesta:

Su fórmula en “si” no es correcta. Solo es válido si [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] b> 0 [/ matemática]. Por ejemplo, [matemática] \ sqrt {-2} \ sqrt {-2} = (\ sqrt {-2}) ^ 2 = (i \ sqrt {2}) ^ 2 = -2 [/ matemática]. No es igual a [math] \ sqrt {(- 2) \ times (-2)} [/ math], ya que es igual a [math] \ sqrt {4} = 2 [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ sqrt {a} [/ math] se define como la raíz positiva para el valor positivo de [math] a [/ math], [math] – \ sqrt {a} [/ math] es otra raíz . [math] \ sqrt {-a} [/ math] para positivo a se define como [math] i \ sqrt {a} [/ math]. [matemática] i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática] ambas son raíz cuadrada de [matemática] -1 [/ matemática] pero [matemática] \ sqrt {-1} = i [/ matemática], no [matemáticas] -i [/ matemáticas]. Para denotar [math] -i [/ math], debe usar [math] – \ sqrt {-1} [/ math].

Answer 4

Parece que estás tratando [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] como números reales, mientras que [matemáticas] i [/ matemáticas] definitivamente no lo es.

Como otros han señalado, la ecuación correcta es, [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática].

Esto no significa que [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] ya que no puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Si pudiera, podría hacer algo ilógico como:

[matemáticas] i ^ 2 = \ sqrt {-1} \ times \ sqrt {-1}
= \ sqrt {-1 \ veces -1}
= \ sqrt {1}
= 1 [/ matemáticas]

lo cual violaría la definición de [math] i [/ math].

Answer 5

Siempre que saque una raíz cuadrada, debe usar el símbolo [math] \ pm [/ math]

entonces su declaración se convierte en:

[matemáticas] \ sqrt {a} \ sqrt {b} = \ sqrt {ab} [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] i ^ 3 = \ sqrt {-1 \ veces -1 \ veces -1} = \ sqrt {-1} = \ pm i [/ matemáticas]