¿Por qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} [/ math] que es igual a 1 no [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {2x} [/ math] o [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x / 2} [/ math]?

Answer 1

f (x) = sen x / x

Comencemos con Geometría simple y relación

Deje, θ es un ángulo en radianes. De la relación del ángulo en radianes, θ = s / r donde s es un arco hecho por ese ángulo yr es el radio.

Ahora sabemos, sin θ = l / r

Cuando θ → 0 entonces l = arco s

Por lo tanto, lim θ → 0 (sin θ) = θ

=> lim θ → 0 (sin θ / θ) = 1

Otra prueba rigurosa,

Deje, APB es un arco de un círculo cuyo centro es O y radio OP que divide el acorde AB en D. Por lo tanto, el arco APB se divide por OP. Las tangentes de A y B se cruzan en C fuera de OP.

Suponga que ∠POA = θ radian & 0 <θ <π / 2

Ahora, acorde AB <Arc APB <AC + BC

=> 2 AD <2 Arc AP <2 AC

=> AD / OP <Arc AP / OP <AC / OP

Entonces, sin θ <θ <tan θ

=> 1 <θ / sin θ <1 / cos θ

=> cos θ <sin θ / θ <1

Cuando θ → 0, cos θ → 1, entonces el valor de sen θ / θ es aproximado a 1

lim θ → 0 (sin θ / θ) = 1

Para otra prueba visite este video:

Answer 2

Deje [math] \ displaystyle L = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} [/ math]

Entonces [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {2x} = \ frac {L} {2} [/ math]

y [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x / 2} = 2L [/ matemáticas]

Entonces, incluso si no se hubiera demostrado que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas], sus otros dos límites no son los mismos. Sin embargo, este teorema ha sido bien y verdaderamente probado. Proporcioné la génesis de la prueba en la respuesta de Gregory Schoenmakers a ¿Cómo podemos deducir [matemáticas] – | \ theta | \ leq \ sin \ theta \ leq | \ theta | [/ math] de la definición de [math] \ sin \ theta [/ math]？

Answer 3

En matemáticas no existe tal cosa como “esto es cierto porque se siente bien”. Expanda [math] sin x [/ math] en una serie de Taylor y divida por [math] x [/ math] antes de tomar el límite o use la Regla de L’Hospital para verlo usted mismo que no es su elección hacer el límite ir a [matemáticas] 1. [/ math] Una vez hecho esto, verás que los otros dos límites van a [math] \ frac {1} {2} [/ math] y [math] 2 [/ math] respectivamente.

Answer 4

Porque ambas funciones se acercan a cero a diferentes velocidades. Se puede probar utilizando la diferenciación.

Imagínense un Ferrari y un Mercedes acercándose a la línea de meta desde direcciones opuestas (considere una pista circular) … si intenta juzgar quién cruzó la línea de meta primero a simple vista, diría que ambos fueron los primeros porque no puede juzgar tasas de cambio con precisión cuando la velocidad se vuelve indefinida en su sistema de medición (Bien, el concepto de límites)

Por eso importan las tasas de cambio.

(Cálculo diferencial de cortesía)

Si aún no está convencido, echemos un vistazo de esta manera, las tasas a las que se acercan a la forma indefinida son la mitad de la otra.

Vamos por la prueba matemática:

Si f (x) = sinx / x entonces sinx / 2x = f (x) / 2

Si

lim f como x tiende a cero es 1, entonces lim f / 2 será 1/2

Porque si fueran iguales, entonces los límites serían cero, lo que contradice la sabiduría convencional.