¿Hay algún polinomio con todas las raíces reales pero las raíces de la derivada no son todas reales?

Answer 1

La respuesta es no.

Deje que [math] f (x) [/ math] sea un polinomio sobre [math] \ mathbb R [/ math] con todas las raíces reales. Deje que el grado de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] sea [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces tendrá [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces reales (puede repetirse). Deje que haya [math] k [/ math] raíces distintas [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots, \ alpha_k [/ math], cada una repetida [math] e_1, e_2, \ ldots, e_k [/ math] veces respectivamente. claramente

[matemáticas] e_1 + e_2 + \ ldots + e_k = n…. (1) [/ matemáticas]

Se sabe que si para un polinomio [matemática] g (x) [/ matemática] tiene una raíz repetida [matemática] e [/ matemática] veces [matemática] (e \ geq 1) [/ matemática], entonces será repetido [math] (e-1) [/ math] veces en [math] f ‘(x). [/ math] Usando el hecho podemos decir que el número de repeticiones de raíces en [math] f’ (x) [/ math] será [math] e_1-1 + e_2-1 + \ ldots + e_k-1 = nk. [/ math] Esto significa que hay [math] (nk) [/ math] raíces de [math] f ‘(x) [/ math] (con repeticiones) que son reales. Como el grado de [math] f ‘(x) [/ math] es [math] (n-1), [/ math] tenemos que demostrar que el [math] (n-1) – (nk) = k- 1 [/ math] las raíces son todas reales.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que [math] \ alpha_1 <\ alpha_2 <\ ldots <\ alpha_k. [/ Math] Como [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots, \ alpha_k [/ math] son ​​raíces, tenemos [math] f (\ alpha_i) = 0, i = 1,2, \ ldots, k. [/ math]

Como [math] f (x) [/ math] es un polinomio, es diferenciable en cada [math] r \ in \ mathbb {R} [/ math] y

[math] f (\ alpha_i) = f (\ alpha_ {i + 1}) = 0, i = 1,2, \ ldots, k-1, [/ math] El teorema del valor medio asegura la existencia de [math] c_i, i = 1,2, \ ldots, k-1 [/ math] tal que [math] \ alpha_i <c_i <\ alpha_ {i + 1} [/ math] y

[matemáticas] \ frac {f (\ alpha_ {i + 1}) – f (\ alpha_ {i})} {(i + 1) -i} = f ‘(c_i) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f [/ matemáticas] [matemáticas] ‘(c_i) = 0, i = 1,2, \ ldots, k-1. [/ matemáticas]

Esto muestra que [math] f ‘(x) [/ math] tiene [math] (k-1) [/ math] distintas raíces reales distintas de [math] \ alpha_1, \ alpha_2, \ ldots, \ alpha_k. [/ matemáticas]

Answer 2

La pregunta ya ha sido respondida. Como soy novato, intentaré jugar con lo que sé.

supongamos que [math] f (x) [/ math] define un polinomio de grado [math] n ^ {th} [/ math] que tiene todas las raíces reales. ¿Ha notado que cuando toma la derivada de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], el polinomio resultante se reduce en [matemáticas] 1 [/ matemáticas] grado, y tenemos [matemáticas] f ‘(x) [/ matemática] como un [math] (n-1) ^ {th} [/ math] polynomial de grado. De acuerdo con el Teorema del cero racional , este polinomio puede tener como máximo raíces reales [matemáticas] (n-1) [/ matemáticas].

Aquí está el truco, asumimos que nuestra función original tiene raíces reales [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces las raíces de sus derivados también deben ser reales.

Considere un segundo caso, donde tenemos otro [matemático] n ^ {th} [/ matemático] grado polinomial [matemático] g (x) [/ matemático] y supongamos que sabemos que esto tiene exactamente [matemático] r [/ matemático] raíces reales, donde [matemáticas] r

Lo que viene después es el Teorema del valor medio, y Prasanna ya lo ha explicado muy bien.