Si [math] x + \ dfrac {1} {x} = a [/ math], ¿puede expresar [math] x ^ 5 + \ dfrac {1} {x ^ 5} [/ math] en términos de [math] una [/ matemática]?

Answer 1

Vamos a presentar el vector:

[matemáticas] \ vec {f_n} = \ left [\ begin {matrix} (x + \ frac {1} {x}) ^ {n \, \, \, \, \, \,} \\ (x + \ frac {1} {x}) ^ {n-1} \\ \ cdots \\ (x + \ frac {1} {x}) ^ {0 \, \, \, \, \, \,} \ \ \ end {matrix} \ right] [/ math]

en el que cada componente se puede escribir con una expansión binomial:

[matemáticas] \ begin {align *} (x + \ frac {1} {x}) ^ m & = \ sum_ {k = 0} ^ m \ binom {m} {k} x ^ k \ frac {1} {x ^ {mk}} \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ m \ binom {m} {k} x ^ {2k-m} \ end {align *} [/ math]

Como esta expansión es simétrica, en cada componente, los coeficientes de [matemática] x ^ j [/ matemática] y [matemática] x ^ {- j} [/ matemática] son ​​iguales. Por lo tanto, podemos escribir [math] \ vec {f_n} [/ math] como un producto matricial con solo la mitad del Triángulo de Pascal:

[matemáticas] \ vec {f_n} = P_n \ izquierda [\ begin {matrix} x ^ {n \, \,} & + & x ^ {- n \, \, \, \,} \\ x ^ {n -1} & + & x ^ {- (n-1)} \\ & \ cdots & \\ x ^ {1 \, \,} & + & x ^ {- 1, \, \, \,} \ \ & x ^ {0} & \\ \ end {matriz} \ right] [/ math]

donde [math] P_n [/ math] es la matriz de Pascal triangular superior:

[matemáticas] P_n = \ left [\ begin {matrix} \ binom {n} {0} & 0 & \ binom {n} {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ binom {n-1} {0} & 0 & \ binom {n-1} {1} & \ cdots & \ binom {n-1} {\ frac {n-1} {2}} \\ \ cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & \ binom {nn} {0} \ end {matrix} \ right] [/ math]

Esta [matemática] P_n [/ matemática] es invertible, y para [matemática] n = 5 [/ matemática] podemos escribir:

[matemáticas] \ izquierda [\ begin {matrix} x ^ 5 + x ^ {- 5} \\ x ^ 4 + x ^ {- 4} \\ \ cdots \\ x ^ 1 + x ^ {- 1} \ \ x ^ {0} \\ \ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} \ color {red} {1} & 0 & \ color {red} {- 5} & 0 & \ color {rojo} {5} y 0 \\ 0 y 1 y 0 y -4 y 0 y 2 \\ 0 y 0 y 1 y 0 y -3 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 y 0 y -2 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 1 \ end {matrix} \ right] \ vec {f_5} [/ math]

(Observe cómo los elementos de [matemáticas] P_5 ^ {- 1} [/ matemáticas] corresponden a la última tabla de la respuesta de Howard Shi )

El primer elemento del vector resultante es nuestra respuesta:

[matemáticas] \ begin {align *} x ^ 5 + x ^ {- 5} & = \ color {red} {1} (x + \ frac {1} {x}) ^ 5 + \ color {red} { -5} (x + \ frac {1} {x}) ^ 3 + \ color {rojo} {5} (x + \ frac {1} {x}) ^ 1 \\ & = a ^ 5-5a ^ 3 + 5a \ end {align *} [/ math]

MATLAB

n = 5;
a = 3;
P_n = ceros (n + 1, n + 1); % Triángulo pascal
para m = n: -1: 0
diagIndex = n + 1 – m;
colIndex = diagIndex: 2: (n + 1);
k = (colIndex-diagIndex) / 2;
P_n (diagIndex, colIndex) =…
factorial (m) ./ (factorial (k). * factorial (mk));
fin
selección = ceros (1, (n + 1));
selección (1) = 1;
selección * inv (P_n) * (a. ^ (n: -1: 0) ‘)

Answer 2

Así es como me acercaré. Utilice la expansión de [matemáticas] ~ [/ matemáticas] [matemáticas] (a + b) ^ 2 ~ [/ matemáticas] y [matemáticas] ~ [/ matemáticas] [matemáticas] (a + b) ^ 3 ~ [/ matemáticas ] Dado

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = a [/ matemáticas]

Encuadrelo. Tenemos

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {1} {x ^ 2} = a ^ 2 – 2 [/ matemáticas]

Ahora toma el cubo del mismo. Obtenemos

[matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = a ^ 3 – 3a [/ matemáticas]

Multiplica estos dos resultados. Obtenemos

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x} + x + \ frac {1} {x ^ 5} = (a ^ 2 – 2) (a ^ 3 – 3a) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} + (x + \ frac {1} {x}) = (a ^ 2 – 2) (a ^ 3 – 3a) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} + (a) = (a ^ 2 – 2) (a ^ 3 – 3a) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} = (a ^ 2 – 2) (a ^ 3 – 3a) – a [/ matemáticas]

Answer 3

（A + b) ^ 5 = a ^ 5 + 5a * b ^ 4 + 10a ^ 2 * b ^ 3 + 10a ^ 3 + 10a ^ 3 * b ^ 2 + 5a ^ 4 * b + b ^ 5

Deje a = x, b = 1 / x

entonces

(x + x ^ -1) ^ 5 = x ^ 5 + 5 * x ^ -3 + 10x ^ -1 + 10x + 5x ^ 3 + x ^ -5

porque, (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2 * b + 3a * b ^ 2 + b ^ 3

entonces a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3–3ab (a + b)

(x + x ^ -1) ^ 5 = x ^ 5 + 5 * x ^ -3 + 10x ^ -1 + 10x + 5x ^ 3 + x ^ -5 = (x ^ 5 + x ^ -5) +5 (x ^ 3 + x ^ -3) +10 (x + x ^ -1) = (x ^ 5 + x ^ -5) +5 [(x + x ^ -1) ^ 3–3 (x + x ^ -1)] + 10 (x + x ^ -1)

entonces x ^ 5 + x ^ -5 = (x + x ^ -1) ^ 5–5 [(x + x ^ -1) ^ 3–3 (x + x ^ -1)] – 10 (x + x ^ -1)

let x + x ^ -1 = a

entonces x ^ 5 + x ^ -5 = a ^ 5–5 [a ^ 3–3a] -10a = a ^ 5–5a ^ 3 + 5a

Answer 4

Howard Shi y otros han dado buenas respuestas, ¡pero pensé en mostrarte algo un poco diferente!

Usted dice: [matemáticas] x + 1 / x = a [/ matemáticas]

OK, creo que multiplicando por x me sale

[matemática] x ^ 2 – ax + 1 = 0 [/ matemática] que es un cuadrático!

Entonces [matemáticas] x = (a \ pm \ sqrt {a ^ 2 – 4}) / 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] x ^ 5 + x ^ {- 5} [/ matemáticas] es solo

[matemáticas] ((a \ pm \ sqrt {a ^ 2 – 4}) / 2) ^ 5 + ((-a \ pm \ sqrt {a ^ 2 – 4}) / 2) ^ {- 5} [/ matemáticas]

¡Cuál es una forma complicada de dar tu respuesta!

Si no me crees, puedes preguntarle a Mathematica.

¡La diferencia entre mi respuesta y Howards es cero!

Motor de conocimiento computacional

¡No conocía esta ni las otras identidades similares que implica esta serie de preguntas!

Answer 5

[matemáticas] a = x + x ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = (x + x ^ {- 1}) ^ 2 = x ^ 2 + x ^ {- 2} + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x ^ {- 2} = a ^ 2 -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 = (x + x ^ {- 1}) ^ 3 = x ^ 3 + x ^ {- 3} + 3 (x + x ^ {- 1}) = x ^ 3 + x ^ { -3} + 3a [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + x ^ {- 3} = a ^ 3 – 3a [/ matemáticas]

[matemáticas] (a ^ 2 -2) (a ^ 3 – 3a) = (x ^ 2 + x ^ {- 2}) (x ^ 3 + x ^ {- 3}) = x ^ 5 + x ^ { -5} + x ^ 1 + x ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] (a ^ 2 -2) (a ^ 3 – 3a) = x ^ 5 + x ^ {- 5} + a [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + x ^ {- 5} = a ^ 5 – 5a ^ 3 + 5a [/ matemáticas]

Cheque. Sea [matemática] x = 1. [/ matemática] [matemática] a = 2. [/ matemática] [matemática] x ^ 5 + x ^ {- 5} = 2. [/ Matemática] [matemática] 2 ^ 5– 5 (2 ^ 3) + 5 (2) = 32–40 + 10 = 2. \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] x + \ dfrac {1} {x} = a = 2 \ cos (\ theta) [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] x ^ n + \ dfrac {1} {x ^ n} = 2 \ cos (n \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + \ dfrac {1} {x ^ 5} = 2 \ cos (5 \ theta) = (2 \ cos \ theta) ^ 5-5 (2 \ cos \ theta) ^ 3 + 5 ( 2 \ cos \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 5-5a ^ 3 + 5a [/ matemáticas]

Answer 7

Si.

[matemáticas] x + \ frac {1} {x} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 1 = hacha [/ matemáticas]

[matemáticas] x-ax + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {- (- a) \ pm \ sqrt {(- a) ^ 2-4 (1) (1)}} {2 (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 5 + \ frac {1} {x ^ 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ frac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4}} {2}) ^ 5+ \ frac {1} {(\ frac {a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4} } {2}) ^ 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4}) ^ 5} {32} + \ frac {1} {\ frac {(a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4} ) ^ 5} {32}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {(a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4}) ^ 5} {32} + \ frac {32} {(a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4}) ^ 5 }[/matemáticas]

Answer 8

Una mejora rápida / ángulo diferente a la solución de Howard Shi.

Considere [matemáticas] x ^ {5} + \ frac {1} {x ^ {5}} [/ matemáticas]. Entonces, uno puede factorizar esta expresión como [matemáticas] x ^ {5} + \ frac {1} {x ^ {5}} = (x + \ frac {1} {x}) (x ^ {4} -x ^ {2} +1 – \ frac {1} {x ^ {2}} + \ frac {1} {x ^ {4}}) [/ math]. Ahora, uno puede usar la solución de Shi para determinar los valores de [matemáticas] x ^ {2} + \ frac {1} {x ^ {2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {4} + \ frac { 1} {x ^ 4} [/ math] en términos de [math] a [/ math] y el problema está resuelto.