Matemáticas: ¿cómo encuentro el valor de [matemáticas] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} [/ matemáticas] sin usar una calculadora?

[matemáticas] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ log_ {7} {2 ^ 5}} {\ log_ {7} {2 ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {5 \ log_ {7} {2}} {2 \ log_ {7} {2}} [/ matemáticas]

= 5/2 = 2.5

si en lugar de 32 y 4, teníamos dos números que eran coprimos, entonces podría convertir el registro a la base 7 a otra base como 10 o e para un cálculo más fácil.

Y, [math] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} [/ math] puede escribirse como [math] = \ frac {\ log {32}} {\ log {7}} / \ frac {\ log {4}} {\ log {7}} [/ math]; aquí el registro es a la base 10.

[matemáticas] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} = \ frac {\ log {32}} {\ log {7}} / \ frac {\ log {4 }} {\ log {7}} = \ frac {\ log {32}} {\ log {4}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ log {2 ^ 5}} {\ log {2 ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {5 \ log {2}} {2 \ log {2}} [/ matemáticas]

= 5/2

= 2.5

log 32 significa iniciar sesión en la base 10 e ln 32 significa iniciar sesión en la base e

[math] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} [/ math] está pidiendo el cambio de fórmula base.

[matemáticas] \ frac {\ log_ {b} {x}} {\ log_ {b} {y}} = \ log_ {y} {x} [/ matemáticas]

Entonces, en nuestro caso [matemáticas] \ frac {\ log_ {7} {32}} {\ log_ {7} {4}} = \ log_ {4} {32} [/ matemáticas]

En este punto, solo tiene que preguntar, ¿cuál es el valor de x que completa esta afirmación: [matemáticas] 4 ^ {x} = 32 [/ matemáticas]

Con suerte, debería ver que la respuesta está entre 2 y 3, porque [matemáticas] 4 ^ {2} = 16 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 ^ {3} = 64 [/ matemáticas]. Entonces parece que estamos lidiando con una fracción.

También sabemos que [matemáticas] 2 ^ {5} = 32 [/ matemáticas]. Combinando el hecho de que [matemática] 4 ^ {\ frac {1} {2}} = 2 [/ matemática] y [matemática] 2 ^ {5} = 32 [/ matemática] obtenemos [matemática] 4 ^ {\ frac {5} {2}} = 32 [/ matemáticas]. Entonces nuestra respuesta es [matemáticas] \ frac {5} {2} [/ matemáticas].

Quizás una forma más fácil de ver esto es que [matemáticas] 4 ^ {1} * 4 ^ {1} * 4 ^ {. 5} = 32 [/ matemáticas].

Según el cambio de fórmula base, que establece que [math] \ frac {log_c a} {log_c b} = log_b a [/ math], esto puede reescribirse como [math] log_4 32 [/ math]. Suponiendo que [matemática] x [/ matemática] es la solución, esto es lo mismo que [matemática] 4 ^ x = 32 [/ matemática], que es lo mismo que [matemática] 2 ^ 2x = 2 ^ 5 [/ matemática] , entonces sabes que [matemáticas] 2x = 5 [/ matemáticas]. por lo tanto, el valor de [math] \ frac {log_7 32} {log_7 4} = \ frac {5} {2} [/ math].

No estoy escribiendo base aquí ya que tanto el denominador como el numerador tienen la misma base

log32 / log4 = log (4 ^ 2 × 2) / log4 = [2log4 + log2] / log4

= 2 + log2 / log4

= 2+ log2 / log2 ^ 2

= 2 + log2 / (2log2)

= 2 +1/2

= 2.5

Entonces puede ver que la base 7 no afecta nuestro cálculo.

Tenga en cuenta que [matemáticas] 32 = 2 ^ 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 = 2 ^ 2 [/ matemáticas] así

[matemáticas] \ dfrac {\ log_732} {\ log_74} = \ dfrac {\ log_72 ^ 5} {\ log_72 ^ 2} = \ dfrac {5 \ log_72} {2 \ log_72} = \ dfrac52 [/ math]

QED