El uso de identidades demuestra que x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3> o igual a 3xyz, donde x, y, z son números reales positivos?

Answer 1

Usando [math] (x – y) ^ 2 \ geq 0 [/ math] se obtiene [math] x ^ 2 + y ^ 2 \ geq 2xy [/ math]. Como cada [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] son ​​positivas, se pueden obtener las siguientes tres ecuaciones

1. [matemáticas] x ^ 3 + xy ^ 2 \ geq 2x ^ 2y [/ matemáticas]
2. [matemáticas] x ^ 2y + y ^ 3 \ geq 2xy ^ 2 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] x ^ 2z + y ^ 2z \ geq 2xyz [/ matemáticas]

Agregar estos tres da lo siguiente:

A. [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + x ^ 2z + y ^ 2z \ geq x ^ 2y + xy ^ 2 + 2xyz [/ matemáticas]

De manera similar a partir de [math] (y – z) ^ 2 \ geq 0 [/ math] se pueden obtener las siguientes tres ecuaciones

1. [matemáticas] y ^ 3 + yz ^ 2 \ geq 2y ^ 2z [/ matemáticas]
2. [matemáticas] y ^ 2z + z ^ 3 \ geq 2yz ^ 2 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] y ^ 2x + z ^ 2x \ geq 2xyz [/ matemáticas]

Agregar estos tres da lo siguiente:

B. [matemáticas] y ^ 3 + z ^ 3 + y ^ 2x + z ^ 2x \ geq y ^ 2z + yz ^ 2 + 2xyz [/ matemáticas]

Del mismo modo, a partir de [matemáticas] (z – x) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas] se pueden obtener las siguientes tres ecuaciones

1. [matemáticas] z ^ 3 + zx ^ 2 \ geq 2z ^ 2x [/ matemáticas]
2. [matemáticas] z ^ 2x + x ^ 3 \ geq 2zx ^ 2 [/ matemáticas]
3. [matemáticas] z ^ 2y + x ^ 2y \ geq 2xyz [/ matemáticas]

Agregar estos tres da lo siguiente:

B. [matemáticas] z ^ 3 + x ^ 3 + z ^ 2y + x ^ 2y \ geq z ^ 2x + zx ^ 2 + 2xyz [/ matemáticas]

Sumar sumando ecuaciones A, B y C da

[matemáticas] 2 (x ^ 3 + z ^ 3 + x ^ 3) \ geq 6xyz [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x ^ 3 + z ^ 3 + x ^ 3 \ geq 3xyz [/ matemáticas]

Answer 2

Usando la factorización estándar, [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3-3xyz = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx). [ /matemáticas]

Ahora, mira el segundo factor
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx = \ frac {(xy) ^ 2 + (yz) ^ 2 + (zx) ^ 2} {2} \ geqslant 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx \ geqslant 0 \ implica (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz -zx) \ geqslant 0. [/ math] Esto es cierto solo porque la suma [math] x + y + z [/ math] es positiva. De lo contrario, tendríamos una desigualdad que se voltea.

Sustituyendo la expresión original, obtenemos
[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3-3xyz \ geqslant 0 \ implica x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 \ geqslant 3xyz. [/ math]

¡Y hemos demostrado [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 \ geqslant 3xyz [/ matemáticas] sin utilizar AM-GM estándar!

Answer 3

Dado que x, y, z es todo un número positivo, lo que implica

[matemáticas] x, y, z => x ^ 3, y ^ 3, z ^ 3> 0 [/ matemáticas]

Ahora como saben [matemáticas] AM \ geq GM [/ matemáticas]

AM de [matemáticas] x ^ 3, y ^ 3, z ^ 3 = \ frac {x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3} {3} \ [/ matemáticas]

GM de [matemáticas] x ^ 3, y ^ 3, z ^ 3 = (x ^ 3 * y ^ 3 * z ^ 3) ^ {1/3} [/ matemáticas]

[matemáticas] AM \ geq GM [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3} {3} \ \ geq (x ^ 3 * y ^ 3 * z ^ 3) ^ {1/3} – (1) [/ matemáticas ]

resolver (1) lo hace

[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 \ geq 3xyz [/ matemáticas]

Gracias 🙂

Answer 4

Una forma clásica de demostrar las desigualdades es usar la desigualdad AM-GM. Pero mi enfoque es diferente. Aquí está mi prueba:

Según una identidad algebraica,
[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x + y + z) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx). [/ matemáticas] .. (1)
Como x, y & z son números positivos,
[matemática] (x + y + z)> 0 [/ matemática]…. (2)
Ahora, pensemos en otro paréntesis.
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – xy – yz – zx [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1/2) * (2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 2z ^ 2-2xy-2yz-2zx) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1/2) * (x ^ 2-2xy + y ^ 2 + y ^ 2-2yz + z ^ 2 + z ^ 2-2zx + x ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1/2) * [(xy) ^ 2 + (yz) ^ 2 + (zx) ^ 2] [/ matemáticas]
Los cuadrados de números reales nunca son negativos.
[matemática] (1/2) [(xy) ^ 2 + (yz) ^ 2 + (zx) ^ 2] ≥ 0. [/ matemática]
Entonces, [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – xy – yz – zx ≥ 0 [/ matemáticas]…. (3)

De (1), (2) y (3), podemos inferir que para números reales positivos x, y y z,
[matemática] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 – 3xyz ≥ 0. [/ matemática]
[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 ≥ 3xyz. [/ matemáticas].

Estoy obligado a Ankur Raj por aclarar mi respuesta usando Latex.