¿Alguien puede dar una pista para ayudarme a completar la prueba de que [matemáticas] f (m, n) = 2 ^ {m-1} (2n-1) [/ matemáticas] es biyectiva?

Aquí hay algunos consejos:

Primero, asegúrese de saber lo que está tratando de mostrar una biyección. (Es decir, ¿pueden [math] m [/ math] yn cualquier número complejo? Números reales? ¿Enteros? ¿Enteros positivos?) enteros positivos).
Recuerde que puede mostrar que una función es biyectiva mostrando que es inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre).
No permita que el hecho de que haya dos variables le cause problemas aquí; para la surjectividad, solo necesita mostrar que dada una salida [matemática] x [/ matemática], hay (al menos) una entrada [matemática] (m, n) [/ matemática] tal que [matemática] f (m, n) = x [/ matemáticas]. Cuando observa la inyectividad, tenga en cuenta que dos elementos del dominio (es decir, pares ordenados) son iguales si y solo si ambas coordenadas de los elementos coinciden (en el orden correcto).
Recordemos el teorema fundamental de la aritmética.

¡Buena suerte!

Cómo encontrar la ecuación de la parábola

¿Se puede pasar de [matemáticas] V _ {\ text {L}} = L \ frac {di _ {\ text {L}}} {dt} [/ math] a [matemáticas] \ frac {V _ {\ text {L} }} {i_L} = L \ frac {d} {dt} [/ math] y luego tomas la transformación de Laplace?

Si [math] x + \ dfrac {1} {x} = a [/ math], ¿puede expresar [math] x ^ 5 + \ dfrac {1} {x ^ 5} [/ math] en términos de [math] una [/ matemática]?

Cómo averiguar si una ecuación define y como una función de x

¿Cómo son las integrales [matemáticas] \ cos ^ {- 1} (x / a) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin ^ {- 1} (x / a) [/ matemáticas] que difieren en una constante?

Estamos considerando una función [matemática] f: S \ a T [/ matemática] donde [matemática] S [/ matemática] es el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, [matemática] T [/ matemática] es el conjunto de enteros positivos, y [math] f [/ math] es la función tal que [math] f (m, n) = 2 ^ {m-1} (2n-1) [/ math].

Una forma de mostrar que [matemáticas] f [/ matemáticas] es biyectiva es mostrar que es uno a uno (inyectivo) y sobre (sobreyectivo).

En (sobreyectivo)

Debe mostrar que un entero positivo [matemática] k [/ matemática] puede expresarse como [matemática] 2 ^ {m-1} [/ matemática] veces [matemática] 2n-1 [/ matemática]. Deje que [math] m-1 [/ math] dé el poder más alto [math] 2 ^ {m-1} [/ math] que divide [math] k [/ math]. Tenga en cuenta que [math] m [/ math] es un entero positivo. Entonces [math] k / 2 ^ {m-1} [/ math] es un número impar, y cada número impar tiene la forma [math] 2n-1 [/ math] para algún número entero positivo [math] n [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] k [/ math] está en la imagen de [math] f [/ math]. Como eso es cierto para todas [matemáticas] k \ en T [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] f [/ matemáticas] está en.

Uno a uno (inyectivo)

Debe mostrar que un entero no positivo [matemática] k [/ matemática] puede expresarse de dos maneras diferentes como producto de una potencia de [matemática] 2 [/ matemática] y un número impar. Te lo dejo a ti.

Biyectivo

Por lo tanto, [math] f [/ math] es biyectivo. En el proceso de esta prueba, hemos descrito la función inversa [math] g: T \ to S [/ math]. Aquí [matemática] g (k) = (m, n) [/ matemática] donde [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son como se describieron anteriormente. Es la función inversa porque satisface las dos ecuaciones [matemáticas] f (g (k)) = k [/ matemáticas] y [matemáticas] g (f (m, n)) = (m, n) [/ matemáticas].

A veces es más fácil mostrar una función al mostrar que tiene una inversa.

Neville Fogarty

Buena pregunta! Aquí está mi pista:

Para la surjectividad, cada número es impar o se puede escribir como [matemática] 2 ^ rm [/ matemática] donde [matemática] m [/ matemática] es impar.
Para la inyectividad, si tuviéramos [matemática] 2 [/ matemática] [matemática] ^ ab = 2 ^ cd [/ matemática] donde [matemática] b, d [/ matemática] son impares, considere la ecuación [matemática] 2 ^ { ac} b = d [/ math], y recuerda que [math] d [/ math] es extraño!

David Joyce

Además, puedes intentar encontrar el inverso, porque una función es biyectiva si y solo si puedes encontrar su inverso.

David Joyce

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