Según el teorema fundamental del cálculo, esta pregunta es equivalente a preguntar si la derivada de [math] \ arcsin (x) [/ math] es la misma que la derivada de [math] \ arccos (x), [/ math] y ¿por qué? En realidad, creo que la premisa no es del todo cierta: la derivada de [math] – \ arcsin (x) [/ math] es la misma que la derivada de [math] \ arccos (x). [/ Math]
La respuesta corta es que dos funciones tendrán la misma derivada cuando difieran en una constante. Sea [math] A = \ arcsin (x). [/ Math] Si imaginamos un triángulo rectángulo, los dos ángulos no rectos son [math] A + B = 90 ^ \ circ [/ math]. [matemáticas] x = \ sin A = \ cos B [/ matemáticas]. [matemáticas] B = \ arccos x [/ matemáticas]. [matemática] \ arcsin (x) + \ arccos (x) = A + B = 90 ^ \ circ = \ pi / 2 [/ math], entonces [math] \ arccos (x) = \ pi / 2 + – \ arcsin (x) [/ math]. Las dos funciones sí difieren en una constante.
Podemos hacer esto desde los primeros principios obteniendo las derivadas de funciones inversas de las derivadas de las funciones originales:
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {\ frac {dx} {dy}} [/ matemáticas]
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Sea [math] y = – \ arcsin (x) [/ math] so [math] x = – \ sin y [/ math] and [math] x ‘= – \ cos y [/ math], so [math] y ‘= 1 / x’ = 1 / \ cos y. [/ math] Dado que [math] \ cos ^ 2 y + \ sin ^ 2 y = 1 [/ math], [math] \ cos y = \ pm \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 y} = \ pm \ sqrt {1 – x ^ 2} [/ math], entonces [math] y ‘= \ mp 1 / \ sqrt {1 – x ^ 2}. [/ matemáticas]
Deje [math] y = \ arccos (x) [/ math], entonces [math] x = \ cos y = \ cos y [/ math] y [math] x ‘= – \ sin y [/ math], entonces [matemáticas] y ‘= 1 / x’ = -1 / \ sen y = \ pm -1 / \ sqrt {1 – \ cos ^ 2 y} = \ mp 1 / \ sqrt {1 – x ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]
Tengo que meditar si sin la negación todavía funciona porque [math] \ mp [/ math] se convierte en [math] \ pm [/ math].