¿Qué es [math] \ int \ sqrt {x + 3} (x ^ 2 + 6x + 9) \ mathrm {d} x [/ math]?

Answer 1

Para evaluar la integral dada,

[matemáticas] \ int \ sqrt {x + 3} \ izquierda (x ^ 2 + 6x + 9 \ derecha) \ dx [/ matemáticas]

querrás factorizar el polinomio.

[matemáticas] \ int \ sqrt {x + 3} (x + 3) (x + 3) \ dx [/ matemáticas]

Recordando que [math] \ sqrt {x} = x ^ {1/2} [/ math], puede reescribir la integral como

[matemáticas] \ int (x + 3) ^ \ frac12 (x + 3) ^ 1 (x + 3) ^ 1 \ dx [/ matemáticas]

Entonces, porque [matemática] x ^ ax ^ b = x ^ {a + b} [/ matemática], la integral se convierte en

[matemáticas] \ int (x + 3) ^ {\ frac12 + 1 + 1} \ dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (x + 3) ^ {\ frac52} \ dx [/ matemáticas]

Luego puede usar la regla de potencia para integrar, lo que significa que agregará [matemática] 1 [/ matemática] al exponente, y luego dividirá por el nuevo exponente.

[matemáticas] \ frac {1} {\ frac52 + 1} (x + 3) ^ {\ frac52 + 1} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {\ frac72} (x + 3) ^ {\ frac72} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac27 (x + 3) ^ {\ frac72} + C [/ matemáticas]

Answer 2

Bien

[matemáticas] x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) ^ 2, [/ matemáticas]

entonces eso es equivalente a

[matemáticas] (x + 3) ^ {1/2} * (x + 3) ^ 2 [/ matemáticas]

puedes usar la regla del producto exponente

[matemáticas] (x + 3) ^ {5/2} [/ matemáticas]

y el resto es un sub-u donde u = x + 3 y regla de exponente para integrales.

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ int {\ sqrt {x + 3} (x ^ 2 + 6x + 9)} dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int {\ sqrt {x + 3} (x + 3) ^ 2} dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int {(x + 3) ^ {\ frac {5} {2}}} dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {2} {7} (x + 3) ^ {\ frac {7} {2}} + C [/ matemáticas]