Cómo encontrar [math] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} [/ math]

La clave para resolver tales preguntas es descomponer la expresión en una forma de fracción parcial. Deje S ser la suma.

[matemáticas] S = \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} = \ frac {A} {r} + \ frac {B} {(r + 1)} + \ frac {C} {(r + 3)} [/ matemáticas]

Al resolver,

[matemáticas] A = 2/3 [/ matemáticas]

[matemáticas] B = -1 / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] C = -1 / 6 [/ matemáticas]

entonces,

Observando que 2/3 = 1/2 + 1/6,

[matemáticas] S = \ sum_ {r = 1} ^ {n} [\ frac {1/2} {r}] – \ sum_ {r = 1} ^ {n} [\ frac {1/2} {( r + 1)}] + \ sum_ {r = 1} ^ {n} [\ frac {1/6} {r}] – \ sum_ {r = 1} ^ {n} [\ frac {1/6} {(r + 3)}] [/ matemáticas]

Los términos de r = 2 a r = n se cancelarán para la primera suma, y ​​de r = 4 a r = n para la tercera suma.

Por lo tanto, la suma se convierte en:

[matemáticas] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2 (n + 1)} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {12} + \ frac {1} { 18} – \ frac {1} {6 (n + 1)} – \ frac {1} {6 (n + 2)} – \ frac {1} {6 (n + 3)} [/ matemáticas]

Que luego se puede simplificar fácilmente.

El truco principal aquí es usar fracciones parciales. Veamos si puedo mostrarle una forma más sencilla de hacer la descomposición que la forma estándar:

[matemáticas] \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} = \ frac {(r + 3) + (r) – (r + 1)} {r (r + 1) (r + 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {r (r + 1)} + \ frac {1} {(r + 1) (r + 3)} – \ frac {1} {r (r + 3)} [ /matemáticas]

Continuando con la descomposición de fracción parcial en este método, obtenemos:

[matemáticas] \ frac {1} {r (r + 1)} = \ frac {(r + 1) -r} {r (r + 1)} = \ frac {1} {r} – \ frac {1 } {r + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {(r + 1) (r + 3)} = \ frac {1} {2} * \ frac {(r + 3) – (r + 1)} {(r + 1 ) (r + 3)} = \ frac {1} {2} * (\ frac {1} {r + 1} – \ frac {1} {r + 3}) [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {r (r + 3)} = \ frac {1} {3} * \ frac {(r + 3) -r} {r (r + 3)} = \ frac {1 } {3} * (\ frac {1} {r} – \ frac {1} {r + 3}) [/ math]

Ahora usando estas tres ecuaciones en la primera:

[matemáticas] \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} = \ frac {1} {r} – \ frac {1} {r + 1} + \ frac {1} { 2} * (\ frac {1} {r + 1} – \ frac {1} {r + 3}) – (\ frac {1} {3} * (\ frac {1} {r} – \ frac { 1} {r + 3})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} * \ frac {1} {r} – \ frac {1} {2} * \ frac {1} {r + 1} – \ frac {1} {6} * \ frac {1} {r + 3} [/ matemáticas]

Poniendo esto en el resumen:

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {2} {3} * \ frac {1} {r} – \ frac {1} {2} * \ frac {1} {r + 1 } – \ frac {1} {6} * \ frac {1} {r + 3} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {1} {r} – \ frac {1} {2} \ sum_ {r = 1} ^ {n } \ frac {1} {r + 1} – \ frac {1} {6} \ sum_ {r = 1} ^ {n} \ frac {1} {r + 3} [/ math]

Ahora hemos llegado a algunas series armónicas, que no tienen fórmulas generales para las sumas, así que me detendré aquí.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ displaystyle \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ displaystyle \ frac {(r + 1) + (r + 3)} {r (r + 1) (r + 3)} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ displaystyle \ frac {1} {r (r + 3)} + \ displaystyle \ frac {1} {2 } \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ displaystyle \ frac {1} {r (r + 1)} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {6} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ left (\ displaystyle \ frac {1} {r} – \ frac {1} {r + 3} \ derecha) + \ displaystyle \ frac {1} {2} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ n \ left (\ displaystyle \ frac {1} {r} – \ displaystyle \ frac {1} {r + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {1} {6} \ left (1+ \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1} {n +1} – \ displaystyle \ frac {1} {n + 2} – \ displaystyle \ frac {1} {n + 3} \ right) + \ displaystyle \ frac {1} {2} \ left (1- \ displaystyle \ frac {1} {n + 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {29} {36} – \ displaystyle \ frac {6n ^ 2 + 27n + 29} {6 (n + 1) (n + 2) (n + 3)} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {n (29n ^ 2 + 138n + 157)} {36 (n + 1) (n + 2) (n + 3)}. [/matemáticas]

¡Espero que el álgebra sea correcto! Si la pregunta pidiera sumar las series infinitas, el álgebra habría sido mucho más simple:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ frac {r + 2} {r (r + 1) (r + 3)} = \ displaystyle \ frac {1} {6} \ left (1+ \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} \ right) + \ displaystyle \ frac {1} {2} = \ displaystyle \ frac {29} {36 }. [/matemáticas]