Estoy confundido sobre por qué esto tiene una etiqueta de ecuaciones diferenciales, sin embargo, para responder a su pregunta, las ecuaciones tienen dos lados y simplemente significa que las dos expresiones son iguales. Hacer una operación en ambos lados te daría la misma igualdad. Sin embargo, las desigualdades son solo dos expresiones que no son iguales. Uno puede ser menor o mayor que, incluso menor o igual que, pero no solo igual a. Puedes pensar en las desigualdades como una condición satisfactoria. Debe tener 21 años o más para beber alcohol legalmente en los EE. UU. Sin embargo, sigue siendo cierto, puede hacer la misma operación en ambos lados y mantener la condición verdadera. Sin embargo, ten en cuenta que cuando multiplicas por un negativo tienes que cambiar la desigualdad.
Gráficamente, puede pensar en las ecuaciones como los puntos de intersección. Mientras, las desigualdades son la región en el gráfico que cumple esa condición.
¿Cuál es la diferencia entre resolver ecuaciones y desigualdades?
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En el contexto de las ecuaciones diferenciales, la única diferencia que puedo pensar es una de las restricciones.
Digamos que queremos resolver una ecuación diferencial (débil) para la distribución de temperatura en un dominio [matemático] \ Omega [/ matemático] que está en contacto térmico con un depósito de temperatura [matemático] T_r [/ matemático] en el límite
[matemáticas] \ int_ \ Omega K \ nabla T \ cdot \ nabla \ psi – \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha T \ psi = \ int_ \ Omega Q \ psi + \ int _ {\ partial \ Omega} T_r \ psi [/matemáticas]
Este problema está bien planteado (es decir, las soluciones existen y son únicas) en [math] H ^ 1 [/ math]. Sin embargo, supongamos que queremos resolver este problema en las unidades de Kelvin en lugar de las unidades de Celsius o Fahrenheit. En este caso tenemos una restricción sobre las posibles temperaturas, a saber, [math] T \ geq 0 [/ math].
En su lugar, podríamos plantear una igualdad variacional en este subconjunto convexo de [matemáticas] H ^ 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] K = \ {u \ en H ^ 1: u \ geq 0 ae \} [/ matemáticas]
Este problema también está bien planteado, sin embargo, en lugar de la igualdad, tendremos una desigualdad variacional:
[matemáticas] \ int_ \ Omega K \ nabla T \ cdot \ nabla \ psi – \ int _ {\ partial \ Omega} \ alpha T \ psi \ leq \ int_ \ Omega Q \ psi + \ int _ {\ partial \ Omega} T_r \ psi [/ matemáticas]
Para resolver esta ecuación, una formulación típica es darse cuenta de que la ecuación diferencial proviene de un problema de minimización e introducir una “condición de complementariedad” y resolver el problema utilizando multiplicadores de Lagrange.
Vea el problema de complementariedad lineal y la programación cuadrática para algunos detalles.
Las ecuaciones tienen una cantidad final establecida, y las iniquidades tienen un rango de respuestas.
Cuando resuelves una ecuación, obtienes la única respuesta que puede tener. Por ejemplo, si resolvió y obtuvo x = 5, entonces x tiene que ser igual a 5.
Cuando resuelve una desigualdad, si obtiene x = 5 , depende de sus signos y del contexto general de la pregunta.
- Si x es menor o igual que cinco , entonces x tiene que ser igual o menor que cinco o la desigualdad será falsa.
- Si x es menor que cinco , entonces x debe ser menor que cinco para que la desigualdad sea verdadera.
- Si x es mayor que cinco , entonces x debe tener un valor mayor que cinco. De lo contrario, la desigualdad no es cierta.
- Si x es mayor o igual que cinco , entonces x debe ser mayor o igual que cinco para que la desigualdad sea verdadera.
Una desigualdad es similar a una ecuación, pero los dos lados en lugar de ser iguales no son iguales de alguna manera bien definida. Lo que podría hacer es reemplazar la desigualdad con un igual, resolverlo de manera normal, luego volver a colocar el signo de desigualdad, así que para el ejemplo
3x> 15, pones 3x = 5, luego x = 5, luego vuelves a colocar la desigualdad, es decir, x> 5.
La excepción a esto es que cada vez que divide ambos lados por un número negativo, la desigualdad cambia de> a