Escriba la ecuación de grado más bajo con coeficiente real si 2 de sus raíces son -1 y (1 + I). ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

[matemáticas] (x-1) ^ 2 = -1 [/ matemáticas] tiene la raíz [matemáticas] i + 1 [/ matemáticas]. Ese polinomio es [matemáticas] x ^ 2–2x + 2 [/ matemáticas]. El otro polinomio que necesitamos es [matemática] x + 1 [/ matemática], por lo que una respuesta es el producto de esas dos, a saber, [matemática] x ^ 3–2x + 2 [/ matemática].

Una pregunta que uno puede hacer es, ¿hay alguna solución cuadrática? La respuesta es no, ya que una de las raíces es real y otra es imaginaria.

Deje que se proporcione un eje cuadrático [matemático] ^ 2 + bx + c [/ matemático]. Si una raíz es real, ambas raíces son reales.

Esto está claro ya que las dos raíces son [matemáticas] \ frac {-b} {2a} \ pm \ frac {\ sqrt [] {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas]. Los coeficientes son reales, por lo tanto, el primer término es real. Si una raíz es real, entonces el segundo término debe ser real. Entonces, la otra raíz es real, ya que es la suma o diferencia de dos números reales.

Entonces, no hay cuadrática con una raíz real y una raíz compleja. Por lo tanto, el cúbico que hemos descrito es de grado mínimo.

Answer 2

Si la ecuación tiene coeficientes reales, las raíces complejas vienen en pares conjugados. Entonces

[matemáticas] f (x) = (x – (-1)) (x – (1 + i)) (x – (1 – i)) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = (x + 1) (x ^ 2 – 2x + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 – 2x ^ 2 + 2x + x ^ 2 – 2x + 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 – x ^ 2 + 2 [/ matemáticas]

Cheque. [matemáticas] f (-1) = (- 1) ^ 3 – (- 1) ^ 2 + 2 = -1–1 + 2 = 0 \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + i) ^ 2 = 1 + 2i + i ^ 2 = 2i [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + i) ^ 3 = (1 + i) (2i) = – 2 + 2i [/ matemáticas]

[matemáticas] f (1 + i) = – 2 + 2i – 2i +2 = 0 \ \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 3

La fuente en mi navegador no distingue entre L minúscula o mayúscula I, así que supongo que te refieres a [math] i [/ math].

Cualquier polinomio que tenga coeficientes reales debe tener pares de raíces que sean conjugados complejos si alguna de las raíces no es real. Por lo tanto, su ecuación debe tener al menos 3 raíces: [matemática] -1 [/ matemática], [matemática] 1 + i [/ matemática] y [matemática] 1-i [/ matemática]

Entonces la ecuación es [matemáticas] f (x) = (x + 1) (x-1-i) (x-1 + i) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + 1) (x ^ 2-2x + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 3-x ^ 2 + 2 [/ matemáticas]

Answer 4

Teorema restante : si un polinomio arbitrario [matemática] f (x) [/ matemática], deja un resto de [matemática] r [/ matemática], en la división por [matemática] (xa) [/ matemática], entonces [matemática] f (a) = r [/ matemáticas].

Extensión del teorema del resto: si, la división por [matemática] (xa) [/ matemática] produce [matemática] r = 0 [/ matemática], entonces [matemática] (xa) [/ matemática] es un factor de [matemática] f (x) [/ matemáticas]. Escribimos [matemáticas] f (a) = 0 [/ matemáticas]

Teorema: las raíces complejas ocurren en pares conjugados, OR, si [math] x = a + ib [/ math] es un cero de [math] f (x) = 0 [/ math], entonces también lo es [math] x = a-ib [/ matemáticas]

---

Vía el teorema del resto

[matemática] x = -1 [/ matemática] es una raíz [matemática] \ implica (x + 1) [/ matemática] es un factor

[matemática] x = 1 + i [/ matemática] es una raíz [matemática] \ implica \ {x- (1 + i) \} [/ matemática] es un factor

[matemática] x = 1-i [/ matemática] es una raíz [matemática] \ implica \ {x- (1-i) \} [/ matemática] es un factor

El polinomio está dado por

[matemáticas] f (x) = (x + 1) [(x-1) -i] [(x-1) + i] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x) = (x + 1) [(x-1) ^ 2-i ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x) = (x + 1) (x ^ 2–2x + 1 + 1) [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {f (x) = (x + 1) (x ^ 2–2x + 2)} [/ math]

Hecho. Este es el polinomio que busca, y gracias por el A2A.

Answer 5

Cualquier polinomio que tenga coeficientes reales debe tener pares de raíces que sean conjugados complejos si alguna de las raíces es imaginaria.

la ecuación es (x + 1) (x − 1 − i) (x − 1 + i) = 0

por lo tanto, x ^ 3 – x ^ 2 + 2 = 0

Answer 6

Multiplicar (1 + x) por (1 + ix) por (1-ix). Observe que la última raíz es el conjugado compex de 1 + i.

El grado de este producto será 3.

Para encontrar el polinomio, primero multiplique los 2 últimos factores. Las partes imaginarias se cancelarán, dejándote con coeficientes reales.

La respuesta es x ^ 3-x ^ 2 + 2