La integral indefinida de [math] \ frac {1} {x} [/ math] es [math] \ ln \ left | x \ right | + C [/ matemáticas]. Si bien es legítimo utilizar [math] C = 0 [/ math] para encontrar la integral definida, cualquier otro valor de [math] C [/ math] funcionará igual de bien. Si elegimos algo más para [matemáticas] C [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ int \ límites _A ^ B {\ frac {1} {x} dx} = (\ ln \ left | B \ right | + C ) – (\ ln \ left | A \ right | + C) = \ ln \ left | B \ right | – \ ln \ left | A \ right | [/ math], como es de esperar. La integral indefinida sería [matemáticas] \ ln \ left | x \ right | + C [/ math], que, cuando se evalúa en [math] x = B [/ math] (para seguir su proceso de pensamiento), es [math] \ ln \ left | B \ right | + C [/ matemáticas]. Entonces, si elegimos [matemática] A = e ^ {- C} [/ matemática], entonces obtenemos la integral indefinida de [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática], evaluada en [matemática] B [/ math], para ser igual a la integral definida de [math] \ frac {1} {x} [/ math] evaluado en [math] x = B [/ math]. Ahora, la integral indefinida comienza a contar el área desde [matemáticas] x = A [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. En otras palabras, si desea utilizar áreas para calcular la integral indefinida, puede comenzar el cálculo del área en cualquier valor de [matemática] x [/ matemática] que desee (siempre que no haya singularidades, como la asíntota que [ matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] tiene en [matemática] x = 0 [/ matemática], entre sus puntos “inicial” y “final”), y de hecho, [matemática] \ int \ límites _A ^ x {f (t) dt} [/ math] es una integral indefinida de [math] f (x) [/ math], independientemente de la elección de [math] A [/ math]. Todo lo que varía su elección de [matemáticas] A [/ matemáticas] es convertir una integral indefinida de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] en otra cambiando la constante de integración.
Ahora que se establece que cualquier punto de inicio es válido, ¿por qué comenzar específicamente en 1 en el caso de [math] \ int {\ frac {1} {x} dx} [/ math]? Es simplemente una cuestión de conveniencia. Ese es el punto de inicio que corresponde a la elección de [matemáticas] C = 0 [/ matemáticas]. Sin embargo, tenga en cuenta que si se le pide que encuentre una integral indefinida, siempre debe incluir la parte [math] + C [/ math], precisamente para que brinde todas las soluciones posibles. Esto será importante más adelante cuando deba elegir [matemáticas] C [/ matemáticas] para, por ejemplo, hacer que una curva atraviese un punto en particular. Si está calculando una integral definida, entonces no necesita preocuparse por las [matemáticas] + C [/ matemáticas] s en las dos integrales indefinidas, porque se cancelan de todos modos.
Para su primera pregunta, con esta elección del punto de inicio, sí, la función integral indefinida se vuelve negativa para [math] 0 <x <1 [/ math]. (Con otro punto de inicio, la función integral indefinida se volvería negativa en un intervalo diferente). La razón de esto es que, por ejemplo, [matemáticas] \ int \ limits _ {0.5} ^ 1 {\ frac {1} {x} dx} [/ math] es positivo, por lo que cualquier integral indefinida de [math] \ frac {1} {x} [/ math] será un número mayor en [math] 1 [/ math] que en [math] 0.5 [/ matemática]. Si elegimos que nuestra integral indefinida sea cero en [matemática] x = 1 [/ matemática], entonces será negativa en [matemática] x = 0.5 [/ matemática]. En otras palabras, [math] \ int \ limits _ {1} ^ {0.5} {\ frac {1} {x} dx} [/ math] es negativo. Sí, representa un área debajo de la gráfica de [matemáticas] \ frac {1} {x} [/ matemáticas], pero esta área es de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas]. Debe ser negativo, porque si quisiéramos agregar esta área al área de [matemática] 0.5 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática], deberíamos esperar obtener cero. Por lo tanto, la razón del área negativa es que pasar de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 0.5 [/ matemática] va hacia atrás, y queremos mantener la propiedad que si volvemos sobre nuestros pasos y regresamos a donde de donde venimos, no deberíamos haber acumulado ningún área, por lo que el área negativa debe compensar la parte positiva obtenida yendo de [matemáticas] 0.5 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]). Si comienza en el punto cero y va hacia atrás, su posición será negativa.
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