Cómo demostrar que una ecuación cúbica tiene al menos una solución real

Answer 1

Así como una ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales, una ecuación cúbica tiene posiblemente tres. Pero a diferencia de una ecuación cuadrática que puede no tener una solución real, una ecuación cúbica siempre tiene al menos una raíz real. Si un cúbico tiene tres raíces, dos o incluso las tres pueden repetirse.

Antes de seguir leyendo, ve y mira gráficas de algunas ecuaciones cúbicas.

A partir de esos gráficos, puede ver por qué una ecuación cúbica siempre tiene al menos una raíz real. El gráfico comienza grande y negativo y termina grande y positivo (cuando el coeficiente de x ^ 3 es positivo), o comenzará grande y positivo y terminará grande y negativo (cuando el coeficiente de x ^ 3 es negativo). El gráfico de un cúbico debe cruzar el eje x al menos una vez para obtener al menos una raíz real. Por lo tanto, cualquier problema que obtenga que implique resolver una ecuación cúbica tendrá una solución real.

PD: Para decirlo de una manera mucho más simple, supongamos que tiene raíces imaginarias. Como las raíces imaginarias existen en pares, puede tener 2 raíces imaginarias y 1 raíz real. Espero que puedas entender.

Answer 2

El principio subyacente para resolver esta pregunta es que,

Las raíces complejas ocurren en pares.

Una ecuación cúbica puede tener como máximo dos raíces complejas.

La tercera raíz es necesariamente real.

(Nota: puede encontrar una prueba simple de la afirmación en Barnard and Child).

Edición 1: pensé que agregaría la prueba para un cambio.

El polinomio es axn + bxn − 1 +…. + W = 0 [matemática] axn + bxn − 1 +…. + W = 0 [/ matemática]

Vamos a reemplazar x por U + iV (= z).

Entonces azn + bzn − 1 +… + w = ​​0 [matemática] azn + bzn − 1 +… + w = ​​0 [/ matemática]

Dado que z es una raíz de la ecuación, entonces tomamos conjugado de ambos lados.

Entonces az¯¯¯n + bz¯¯¯n − 1 +… + w = ​​0 [matemática] az¯n + bz¯n − 1 +… + w = ​​0 [/ matemática] [Dado que el conjugado de 0 es 0, también z1 + z2 + z3 +… .¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = z1¯¯ ¯¯¯ + z2¯¯¯¯¯ +… [matemáticas] z1 + z2 + z3 +… .¯ = z1¯ + z2¯ +… [/ matemáticas] y también az¯¯¯¯¯ = az¯¯¯ [matemáticas ] az¯ = az¯ [/ math], donde a es real y zn¯¯¯¯¯ = z¯¯¯n [math] zn¯ = z¯n [/ math]]

Entonces, hemos establecido que z¯¯¯ [math] z¯ [/ math] es una raíz de la misma ecuación de la que z es una raíz.

Answer 3

El principio subyacente para resolver esta pregunta es que,

Las raíces complejas ocurren en pares.

Una ecuación cúbica puede tener como máximo dos raíces complejas.

La tercera raíz es necesariamente real.

(Nota: puede encontrar una prueba simple de la afirmación en Barnard and Child).

Edición 1: pensé que agregaría la prueba para un cambio.

El polinomio es [math] ax ^ n + bx ^ {n-1} +…. + w = ​​0 [/ matemáticas]

Vamos a reemplazar x por U + iV (= z).

Entonces [matemáticas] az ^ n + bz ^ {n-1} +… + w = ​​0 [/ matemáticas]

Dado que z es una raíz de la ecuación, entonces tomamos conjugado de ambos lados.

Entonces [matemática] a \ overline {z} ^ n + b \ overline {z} ^ {n-1} +… + w = ​​0 [/ math] [Dado que el conjugado de 0 es 0, también [math] \ overline { z_1 + z_2 + z_3 +….} = \ overline {z_1} + \ overline {z_2} +… [/ math] y también [math] \ overline {az} = a \ overline {z} [/ math], donde a es real y [matemáticas] \ overline {z ^ n} = \ overline {z} ^ n [/ math]]

Entonces, hemos establecido que [math] \ overline {z} [/ math] es una raíz de la misma ecuación de la que z es una raíz.

QED

(Nota: esta proposición, que las raíces complejas ocurren en pares se mantiene para ecuaciones con coeficientes reales).

Answer 4

Suponga que la ecuación cúbica tiene todas las raíces imaginarias. Ahora un cúbico debe tener 3 raíces (reales o imaginarias). Asumimos que las 3 raíces son imaginarias. Pero las raíces imaginarias siempre ocurren en pares conjugados. Si una de las raíces es a + ib, la segunda raíz debe ser a-ib. Si la tercera raíz es c + id, entonces debe haber una cuarta raíz c-id. Pero una ecuación cúbica no puede tener más de 3 raíces. Entonces, lo que hemos asumido está mal. Por lo tanto, un polinomio cúbico debe tener al menos una raíz real. Esto es aplicable para cualquier polinomio de grado impar. Debe tener al menos una raíz real.