Cómo demostrar que la siguiente función está aumentando en x: [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} x (1-x) ^ {i-1} \ log \ left (1+ \ mu (1-x) ^ {i-1} \ right) [/ math]

Answer 1

Al trazar cada término en [math] x \, \ epsilon \, [0,1] [/ math] nos proporciona mucha información (ver los diagramas de Matlab a continuación):

Para cada [matemática] i [/ matemática], el término [matemática] i ^ {\ text {th}} [/ matemática] aumenta en [matemática] x [/ matemática] hasta que alcanza un máximo, después de lo cual disminuye en [matemática] x [/ matemática] y asintóticamente se acerca a [matemática] 0 [/ matemática]. Cuanto mayor sea [matemática] i [/ matemática], antes alcanzará este máximo.

Esta tendencia es válida para todos [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] (nota [matemáticas] \ mu = 0 [/ matemáticas] es un caso trivial donde todo [matemáticas] = 0 [/ matemáticas]). Entonces, comenzando desde los valores más altos de [math] i [/ math] a los más bajos, todo lo que tiene que hacer es demostrar que en el intervalo entre el máximo de [math] i ^ {\ text {th}} [/ math] término y el máximo del término [math] i-1 ^ {\ text {th}} [/ math], la magnitud de [math] \ frac {d} {dx} \ sum_ {k = i} ^ \ infty x (1-x) ^ {i-1} \ log (1+ \ mu (1-x) ^ {i-1}) [/ math] es menor que la magnitud de [math] \ frac {d} { dx} \ sum_ {k = 1} ^ {i-1} x (1-x) ^ {i-1} \ log (1+ \ mu (1-x) ^ {i-1}) [/ math] .

El resto es solo cálculo 😉

Answer 2

Pregunta: si [math] f_n [/ math] está aumentando, entonces [math] f = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f_n [/ math] está aumentando? Si.

Tome [math] x \ le y [/ math], ya que para todos n, [math] f_n (x) \ le f_n (y) [/ math], sumando las desigualdades [math] f (x) \ le f ( y) [/ math], que concluye la prueba.

Ahora, aplique esto a su función: tome la serie [matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {+ \ infty} x (1-x) ^ i \ log (1+ \ mu ( 1-x) ^ i) [/ math] definido en [math] [0,1] [/ math].

Todo lo que tiene que hacer es mostrar que las funciones [matemáticas] f_i [/ ​​matemáticas] definidas por [matemáticas] f_i (x) = x (1-x) ^ i \ log (1+ \ mu (1-x) ^ i ) [/ math] están aumentando cada vez más.

Como todos son diferenciables, puede usar herramientas de análisis clásicas para mostrarlo. Verifiqué que todo salga bien.

No olvide: si tiene [math] f ‘\ ge 0 [/ math], para concluir que [math] f [/ math] está aumentando, debe definirse en un intervalo

Answer 3

Cuando [math] x = 0 [/ math] o [math] x = 1 [/ math] todos los términos de la serie, excepto el primero, son cero. Entonces, la pregunta resuelve si el primer término, que está aumentando, aumenta más rápido de lo que disminuye la suma de los otros (en el rango donde disminuye). Tenga en cuenta que sin el factor de registro, la función es idénticamente [matemática] 1 [/ matemática]. El factor de registro hace que todos los términos, aparte de la primera disminución, sean más rápidos donde disminuyen y aumentan más lentamente donde aumentan.

En mi intento anterior puse [matemática] j = i-1 [/ matemática], [matemática] y = (1-x) ^ j [/ matemática] y diferenciada. Obviamente no puede usar la misma [matemática] y [/ matemática] para cada término. Quizás hubiera sido mejor poner [math] y = 1-x [/ math]. Luego, aparte del primer término, la derivada del término [math] j + 1 [/ math] es

[matemáticas] -y ^ j \ ln (1+ \ mu y ^ j) + (1-y) jy ^ {j-1} \ ln (1+ \ mu y ^ j) + \ mu j (1-y ) y ^ j \ frac {y ^ {j-1}} {1+ \ mu y ^ j} [/ math]

[matemáticas] = y ^ {j-1} \ left ((j – (j + 1) y) \ ln (1+ \ mu y ^ j) + \ mu j (1-y) \ frac {y ^ j } {1+ \ mu y ^ j} \ right) [/ math].

La derivada del primer término (con respecto a [matemática] y [/ matemática]) es [matemática] – \ ln (1+ \ mu) [/ matemática] por lo que la pregunta es “¿Cuál es mayor, [matemática] \ ln (1+ \ mu) [/ math] o la suma de los términos en la expresión anterior? ”

No hice más progresos.

Answer 4

f (n, x) = S [x (x-1) ^ (n-1) ln [1+ (1-x) ^ (n-1)], S = sigma, la suma de, (sigma mayúscula)

Para todos n, f (n, 0) = f (n, 1) = 0.

Por el valor intermedio thm., Debe haber algún valor de x en el [0,1] donde un componente individual de f (n, x) es un máximo, para cada valor de n.
Entonces, a medida que x aumenta, los valores de los componentes de f (n, x) aumentan y luego disminuyen.

Aunque f (n, x) aumenta para aumentar n, los valores individuales no siempre aumentarán a medida que x aumenta

Concide f (n, x) para que sea continuo, use la diferenciación o un gráfico para encontrar el valor de x que produce un máximo para cada curva. {n = 1,2,3 etc.}
Cada max. el valor (probablemente) aumentará a medida que n aumente.

Si está de manera que f (n, x) = 1, puede obtener una buena función de distribución

Encuentre el área debajo de cada curva, ya que dice que las áreas deberían aumentar.