Si sin A + sin B = a y cos A + cos B = b, encuentre cos (A + B) en términos de a y b?

Answer 1

[matemáticas] a = \ sin A + \ sin B [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = \ sin ^ 2 A + \ sin ^ 2 B + 2 \ sin A \ sin B [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ cos A + \ cos B [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = \ cos ^ 2 A + \ cos ^ 2B + 2 \ cos A \ cos B [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 + a ^ 2 = 2 + 2 (\ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B) = 2 + 2 \ cos (AB) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (AB) = \ dfrac {b ^ 2 + a ^ 2 – 2} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos ^ 2 A – \ sin ^ 2 A + \ cos ^ 2B – \ sin ^ 2 B + 2 (\ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos 2A + \ cos 2B + 2 \ cos (A + B) [/ matemáticas]

Hay una fórmula para [math] \ cos 2A + \ cos 2B [/ math] llamada fórmula de batido. Derivemoslo rápidamente:

[matemáticas] \ cos (x + y) = \ cos x \ cos y – \ sin x \ sin y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (xy) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (x + y) + \ cos (x – y) = 2 \ cos x \ cos y [/ matemáticas]

Sea [matemática] 2A = x + y, 2B = xy [/ matemática] entonces x = [matemática] A + B, y = AB [/ matemática].

[matemáticas] \ cos 2A + \ cos 2B = 2 \ cos (A + B) \ cos (AB) [/ matemáticas]

OK, conectemos eso y [matemáticas] \ cos (AB) = \ dfrac {b ^ 2 + a ^ 2 – 2} {2} [/ matemáticas] y veamos dónde estamos:

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = 2 \ cos (A + B) \ cos (AB) + 2 \ cos (A + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (1+ \ cos (AB)) \ cos (A + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (\ dfrac 2 2 + \ dfrac {b ^ 2 + a ^ 2 – 2} {2}) \ cos (A + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (A + B) = \ dfrac {b ^ 2 – a ^ 2} {b ^ 2 + a ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 2

Reescribe cada uno usando las fórmulas de suma a diferencia como

[matemáticas] a = 2 \ sen \ left ({\ frac {{A + B}} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {{A – B}} {2}} \ right) [/ math] y [math] b = 2 \ cos \ left ({\ frac {{A + B}} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {{A – B}} {2 }} \ right) [/ math].

Divisor,

[matemáticas] \ tan \ left ({\ dfrac {{A + B}} {2}} \ right) = \ dfrac {a} {b} [/ math].

Usando la fórmula de doble ángulo para bronceado,

[matemáticas] \ tan (A + B) = \ dfrac {{2 \ tan \ left ({\ dfrac {{A + B}} {2}} \ right)}} {{1 – {{\ tan} ^ 2} \ left ({\ dfrac {{A + B}} {2}} \ right)}} = \ dfrac {{2ab}} {{{b ^ 2} – {a ^ 2}}} [/ math ]

Entonces

[matemáticas] {\ sec ^ 2} (A + B) = 1 + {\ left ({\ dfrac {{2ab}} {{{b ^ 2} – {a ^ 2}}}} \ right) ^ 2 } = \ dfrac {{{{({b ^ 2} + {a ^ 2})} ^ 2}}} {{{{({b ^ 2} – {a ^ 2})} ^ 2}}} [/matemáticas]

y finalmente

[matemáticas] \ cos (A + B) = \ dfrac {{{{b ^ 2} – {a ^ 2}}} {{{b ^ 2} + {a ^ 2}}} [/ matemáticas].

Answer 3

[matemáticas] \ sin A + \ sin B = a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin ^ 2 A + \ sin ^ 2 B + 2 \ sin A \ sin B = a ^ 2… [i] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos A + \ cos B = b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos ^ 2 A + \ cos ^ 2 B + 2 \ cos A \ cos B = b ^ 2…. [ii] [/ matemáticas]

---

[matemáticas] [i] + [ii] \ implica [/ matemáticas]

[matemática] 1 + 1 + 2 (\ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica 2 \ cos (AB) = a ^ 2 + b ^ 2–2 ……. [iii] [/ matemáticas]

[matemáticas] [ii] – [i] \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (\ cos A \ cos B- \ sin A \ sin B) + (\ cos ^ 2 A- \ sin ^ 2 A) + (\ cos ^ 2 B – \ sin ^ 2 B) = b ^ 2-a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ cos (A + B) + \ cos 2A + \ cos 2B = b ^ 2-a ^ 2… .. [iv] [/ matemáticas]

---

Sabemos [matemáticas] \ cos C + \ cos D = 2 \ cos \ left (\ dfrac {C + D} {2} \ right) \ cos \ left (\ dfrac {CD} {2} \ right) [/ math ]

Entonces, [matemáticas] \ cos 2A + \ cos 2B = 2 \ cos (A + B) \ cos (AB) [/ matemáticas]

Usaremos este resultado en [matemáticas] [iv] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ cos (A + B) +2 \ cos (A + B) \ cos (AB) = b ^ 2-a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ cos (A + B) [1+ \ cos (AB)] = b ^ 2-a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos (A + B) = \ dfrac {b ^ 2-a ^ 2} {2 [1+ \ cos (AB)]} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos (A + B) = \ dfrac {b ^ 2-a ^ 2} {2 \ left [1+ \ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2} -1 \ right] } = \ dfrac {b ^ 2-a ^ 2} {b ^ 2 + a ^ 2} [/ math]

Gracias por el A2A, me hizo usar una de las fórmulas [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas], algo con lo que lucho.

Answer 4

[matemáticas] a ^ 2 = sin ^ 2 (A) + 2sin (A) sin (B) + sin ^ 2 (B) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = cos ^ 2 (A) + 2cos (A) cos (B) + cos ^ 2 (B) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = [sin ^ 2 (A) + cos ^ 2 (A)] + [sin ^ 2 (B) + cos ^ 2 (B)] + 2sin (A) sin (B ) + 2cos (A) cos (B) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2-2 = 2cos (AB) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = [cos ^ 2 (A) -sin ^ 2 (A)] + [cos ^ 2 (B) -sin ^ 2 (B)] – 2sin (A) sin (B ) + 2cos (A) cos (B) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = cos (2A) + cos (2B) + 2cos (A + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = 2 (cos (A + B)) (cos (AB)) + 2cos (A + B) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = 2cos (A + B) (cos (AB) +1) [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2-a ^ 2 = 2cos (A + B) (\ frac {(a ^ 2 + b ^ 2) -2} {2} +1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(b ^ 2-a ^ 2)} {(a ^ 2 + b ^ 2)} = cos (A + B) [/ matemáticas]

Gracias a Sunseet Bahl por detectar el error en mi respuesta original, creo que he hecho las correcciones adecuadas.

Answer 5

sinA + sinB = a,

Entonces, 2sin (A + B) / 2 * cos (AB) / 2 = a… (1)

cosA + cosB = b,

Entonces, 2cos (A + B) / 2 * cos (AB) / 2 = b… (2)

Ahora, haciendo (1) ÷ (2) obtenemos,

tan (A + B) / 2 = a / b, como sabemos,

cos2A = (1-tan ^ 2A) / (1 + tan ^ 2A), por lo tanto,

cos (A + B) = {1-tan ^ 2 (A + B) / 2} / {1 + tan ^ 2 (A + B) / 2}

cos (A + B) = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2)

= (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2)

Answer 6

Cuadrando ambas ecuaciones

sin²A + sin²B + 2sinsinAsinB = a²

cos²A + cos²B + 2cosAcosB = b²

Agregando,

2 + 2 (cosAcosB + sinAsinB)) = a² + b²

∴cos (AB) = ½ [(a² + b²) -2]

Restando, ↑

-2sinAsinB + 2cos (AB) = b²-a²