Las fórmulas convencionales asumen el espacio euclidiano, por lo que no necesariamente se mantienen en el espacio no euclidiano.
La diferencia entre el espacio euclidiano y el espacio no euclidiano es que el “Postulado paralelo” no se cumple: que, para cualquier línea dada, hay exactamente una línea paralela a través de un punto que no está en la línea dada. Es el más complejo de 5 postulados de geometría descritos por Euclides en la matemática griega antigua.
Durante siglos, incluso milenios, los geómetras intentaron demostrar que el postulado paralelo era innecesario, que era una consecuencia de los otros 4 postulados. En el siglo XIX, descubrieron que se podían obtener geometrías perfectamente buenas cambiando el postulado paralelo de formas incompatibles. Podría indicar que las líneas paralelas no existían, o podría indicar que las líneas paralelas no eran únicas. Ambas ideas funcionarían, ya que no conducen a contradicciones, pero no funcionarían de la misma manera que la geometría tradicional. Los teoremas que dependían del postulado paralelo no serían necesariamente ciertos.
Por ejemplo, necesita el postulado paralelo para demostrar que los ángulos en un triángulo suman una línea recta. Un triángulo definido en un espacio no euclidiano podría tener ángulos que sumen mayor o menor que una línea recta. Del mismo modo, necesita el postulado paralelo para demostrar que figuras similares se escalan bien (los lados se escalan linealmente, las áreas se escalan cuadráticamente, etc.). Como tal, no puede probar, sin el postulado paralelo, el teorema de Pitágoras, o incluso (llegar a los círculos) que la razón de la circunferencia de un círculo y el diámetro es constante para todos los círculos.
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Un ejemplo fácil de visualizar es la geometría esférica [1], que es una geometría no euclidiana bidimensional de la superficie de una esfera. Puede definir una “línea” como una gran ruta circular alrededor de la esfera y un “punto” como el par de ubicaciones antipodales en la esfera. Es fácil verificar que los primeros cuatro postulados de Euclides se mantengan (se puede dibujar un segmento de línea recta entre dos puntos; un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente; dado cualquier segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo usando un punto final como centro y el segmento como un radio; todos los ángulos rectos son iguales), pero todas las líneas distintas se cruzan (no hay líneas paralelas).
En geometría esférica, tiene características tales como: la suma de ángulos en cualquier triángulo siempre es mayor que una línea recta, y tiene un área proporcional al “exceso” de esta suma sobre una línea recta; la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo varía entre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] y 0, el teorema de Pitágoras no se cumple y la trigonometría también es diferente. Es posible tener un triángulo equilátero con tres ángulos rectos, etc.
Hay fórmulas para tratar esto en geometría esférica, pero son fórmulas diferentes que se encuentran con la geometría euclidiana.
[1] La geometría esférica es tan omnipresente en campos como la cartografía, la astronomía, etc., que han existido durante milenios, por lo que no entiendo por qué tardó tanto en reconocer las geometrías no euclidianas como algo.