Supongamos que [math] n [/ math] es un número entero.
Primero, dado que [math] e ^ {i \ pi + 2k \ pi} = -1 [/ math], luego [math] \ ln (-1) = i \ pi + 2 \ pi ik [/ math] para enteros [matemáticas] k [/ matemáticas]. ¡Recuerde que la función exponencial es periódica en el plano complejo!
A continuación, vuelva a escribir [matemáticas] \ sqrt [n] {- 1} = (-1) ^ {1 / n} = e ^ {\ frac {1} {n} \ ln (-1)} = e ^ {( i \ pi + 2 \ pi ik) / n} = e ^ {i \ pi / n} e ^ {2 \ pi ik / n} [/ math].
Tenemos dos factores aquí. El segundo factor es el conjunto habitual de [matemática] n [/ matemática] th raíces de la unidad (para todos [matemática] k [/ matemática], pero específicamente [matemática] 0 \ le k <n [/ matemática]). Estos son polígonos regulares cuyo primer punto comienza en [matemática] 1 [/ matemática] (ubicado en el eje real), y cuyos puntos se distribuyen uniformemente alrededor del círculo unitario cada [matemática] 2 \ pi / n [/ matemática] radianes.
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Para el primer factor, recuerde que [math] e ^ {i \ theta} [/ math] es un número complejo en el círculo unitario que forma un ángulo [math] \ theta [/ math] en sentido antihorario desde el eje real, podemos ver que [matemática] e ^ {i \ pi / n} [/ matemática] es un punto que forma un ángulo de [matemática] \ pi / n [/ matemática] en el círculo unitario. Este primer factor se llama la raíz principal [matemática] n [/ matemática] (de [matemática] -1 [/ matemática]). En realidad, cuando escribimos una raíz usando notación radical como [math] \ sqrt [n] {x} [/ math], en lugar de [math] x ^ {1 / n} [/ math], generalmente nos referimos al single principal [matemáticas] n [/ matemáticas] th raíz.
La multiplicación por un número complejo es solo una rotación. Entonces, nuestro polígono de [matemáticas] n [/ matemáticas] las raíces de la unidad gira levemente por [matemáticas] \ pi / n [/ matemáticas] radianes. Y al usar álgebra, así es como obtenemos una imagen geométrica.