El plano euclidiano y el plano hiperbólico se definen axiomáticamente. Los puntos son puntos y las líneas son líneas. La diferencia es que en el plano euclidiano hay un axioma que implica que dada cualquier línea y cualquier punto, hay exactamente una línea a través de ese punto que no cumple con la línea dada, mientras que en el plano hiperbólico hay un axioma que implica que hay es más de una de esas líneas
Su pregunta es sobre modelar el plano hiperbólico. Hay muchos modelos del plano hiperbólico al igual que hay muchos modelos del plano euclidiano, pero algunos son más bonitos que otros.
La forma habitual de modelar el plano euclidiano es nombrando puntos por pares ordenados [math] (x, y) [/ math] de números reales, es decir, elementos de [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math]. Luego puede modelar una línea recta como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación lineal [matemática] Ax + By = C [/ matemática] donde [matemática] A, B, [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] constantes, y no tanto [math] A [/ math] como [math] B [/ math] son [math] 0 [/ math]. También puede definir distancia, círculos y ángulos de la manera habitual.
Un buen modelo del plano hiperbólico es el de Poincaré. Para ese modelo, los puntos se ordenan por pares ordenados [matemática] (x, y) [/ matemática] de números reales tales como [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 <1 [/ matemática], es decir, puntos dentro del círculo unitario. Las líneas rectas están modeladas por arcos de círculos dentro de ese círculo unitario que son ortogonales al círculo unitario, es decir, se encuentran con el círculo unitario en un punto donde sus líneas tangentes están en ángulo recto. En la imagen a continuación, el círculo unitario se muestra en amarillo claro y tiene tres líneas. Uno pasa por los puntos [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas], y dos pasan por el punto [matemáticas] C [/ matemáticas]. Esos dos no se encuentran con el primero dentro del círculo unitario, por lo que ambos son paralelos.
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Al igual que en la geometría euclidiana, también puede definir la distancia y los círculos, pero se definen de manera diferente.
Hay muchos otros modelos de geometría hiperbólica, pero lo bueno del modelo de Poincare es que es conforme, y eso significa que los ángulos que ves en el modelo son los mismos tanto en geometría euclidiana como en geometría hiperbólica. Entonces, por ejemplo, los ángulos en [matemática] C [/ matemática] en la figura de arriba son aproximadamente 50 ° y 130 ° en geometría euclidiana (como ángulos entre círculos en el modelo usual [matemática] \ mathbf R ^ 2 [ / math]) y en geometría hiperbólica (como ángulos entre líneas en el modelo de Poincare).